2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 뜻과 활용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

24. 두 사건 $A$와 $B$는 서로 배반사건이고 $P(A\cup B)=1,P(A^C)=2P(A)$ 일 때, $P(B)$의 값은? [3점] ① $\frac{1}{6}$ ② $\frac{1}{3}$ ③ $\frac{1}{2}$ ④ $\frac{2}{3}$ ⑤ $\frac{5}{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 배반사건의 성질과 여사건의 확률을 이용하여 미지의 확률을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 사건 $A$와 $B$는 서로 배반사건
- $P(A\cup B)=1$
- $P(A^C)=2P(A)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 $P(A)$를 구한 후, 배반사건의 덧셈정리를 이용하여 $P(B)$를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 여사건의 확률 성질과 주어진 조건을 이용하여 $P(A)$의 값을 구합니다.

step2. 배반사건의 확률의 덧셈정리를 이용하여 $P(A\cup B)$를 $P(A)$와 $P(B)$의 식으로 나타냅니다.

step3. step1에서 구한 $P(A)$의 값과 주어진 $P(A\cup B)$의 값을 이용하여 $P(B)$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 사건 $A$의 여사건 $A^C$에 대하여 $P(A^C)=1-P(A)$이다.

- 배반사건의 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A$와 $B$가 서로 배반사건일 때, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 여사건의 확률 성질 $P(A^C)=1-P(A)$와 배반사건의 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$를 정확히 적용하는 것이 핵심입니다.

step1. 여사건의 확률 성질과 주어진 조건을 이용하여 $P(A)$의 값을 구합니다.

여사건의 확률 성질에 의해 $P(A^C)=1-P(A)$입니다.

문제에서 주어진 조건 $P(A^C)=2P(A)$에 이를 대입하면,

$1-P(A)=2P(A)$

$3P(A)=1$

$\therefore P(A)=\frac{1}{3}$

step2. 배반사건의 확률의 덧셈정리를 이용하여 $P(A\cup B)$를 $P(A)$와 $P(B)$의 식으로 나타냅니다.

문제에서 두 사건 $A$와 $B$는 서로 배반사건이라고 하였습니다.

[함정경고] 배반사건이라는 조건을 놓치면 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$에서 $P(A\cap B)$를 처리하지 못해 막힐 수 있습니다. 배반사건이므로 $P(A\cap B)=0$임을 기억하세요.

따라서 확률의 덧셈정리에 의해 다음이 성립합니다.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

step3. step1에서 구한 $P(A)$의 값과 주어진 $P(A\cup B)$의 값을 이용하여 $P(B)$를 계산합니다.

문제에서 $P(A\cup B)=1$이라고 주어졌으므로,

$1=P(A)+P(B)$

step1. 에서 구한 $P(A)=\frac{1}{3}$을 대입하면,

$1=\frac{1}{3}+P(B)$

$\therefore P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

따라서 $P(B)$의 값은 $\frac{2}{3}$이며, 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. P(A) 구하기

$P(A^C)=1-P(A)$

$1-P(A)=2P(A)$   --- (주어진 조건에 대입)

$3P(A)=1$

$P(A)=\frac{1}{3}$

step2. , 3. P(B) 구하기

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$   --- (A, B가 배반사건이므로)

$1=\frac{1}{3}+P(B)$

$P(B)=\frac{2}{3}$

$\therefore 정답④$

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