2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번
문제의 분류	고등학교 (이항정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $(2x-1{)}^5(x+1)$의 전개식에서 $x^3$의 계수는? [3점] ① 30 ② 35 ③ 40 ④ 45 ⑤ 50

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 곱에서 특정 차수의 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: $(2x-1{)}^5(x+1)$
- 구해야 할 것: 전개식에서 $x^3$의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식을 분리하여 각각 필요한 차수의 항을 이항정리로 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 다항식을 $(2x-1{)}^5·x$ 와 $(2x-1{)}^5·1$ 로 분리하여 $x^3$ 항이 나오는 경우를 찾습니다.

step2. 이항정리를 이용하여 $(2x-1{)}^5$의 일반항을 구합니다.

step3. 각 경우에 필요한 차수의 계수를 계산하고 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 ${}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$ (단, $r=0,1,\dots ,n$) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 곱에서 특정 차수의 항을 찾을 때는, 곱해지는 각 다항식에서 어떤 차수의 항들이 만나야 원하는 차수가 되는지 경우를 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 다항식 분리 및 경우 나누기

주어진 다항식 $(2x-1{)}^5(x+1)$을 전개하면 다음과 같이 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

$(2x-1{)}^5(x+1)=(2x-1{)}^5·x+(2x-1{)}^5·1$

이 식에서 $x^3$ 항이 만들어지려면 다음 두 가지 경우가 있습니다.

첫째, $(2x-1{)}^5·x$ 에서 $x^3$ 항이 되려면, $(2x-1{)}^5$의 전개식에서 $x^2$ 항이 나와야 합니다. ($x^2\times x=x^3$)

둘째, $(2x-1{)}^5·1$ 에서 $x^3$ 항이 되려면, $(2x-1{)}^5$의 전개식에서 $x^3$ 항이 나와야 합니다. ($x^3\times 1=x^3$)

step2. 이항정리를 이용한 일반항 구하기

이항정리를 이용하여 $(2x-1{)}^5$의 일반항을 구해보겠습니다.

일반항은 ${}_5{C}_r(2x{)}^{5-r}(-1{)}^r$ 입니다. (단, $r=0,1,2,3,4,5$)

이를 정리하면, ${}_5{C}_r·2^{5-r}·(-1{)}^r·x^{5-r}$ 이 됩니다.

[함정경고] 일반항을 세울 때 $(-1{)}^r$ 부분의 부호를 빠뜨리기 쉽습니다. 부호까지 정확히 포함하여 계산해야 합니다.

step3. 각 경우의 계수 계산 및 합산

이제 step1에서 찾은 두 가지 경우의 계수를 각각 계산해 봅시다.

첫째 경우: $(2x-1{)}^5$에서 $x^2$ 항의 계수

$x^{5-r}=x^2$ 이려면 $5-r=2$, 즉 $r=3$ 이어야 합니다.

$r=3$을 일반항에 대입하면 계수는

${}_5{C}_3·2^{5-3}·(-1{)}^3=10\times 2^2\times (-1)=10\times 4\times (-1)=-40$ 입니다.

따라서 첫 번째 부분에서 나오는 $x^3$ 항은 $-40x^3$ 입니다.

둘째 경우: $(2x-1{)}^5$에서 $x^3$ 항의 계수

$x^{5-r}=x^3$ 이려면 $5-r=3$, 즉 $r=2$ 이어야 합니다.

$r=2$를 일반항에 대입하면 계수는

${}_5{C}_2·2^{5-2}·(-1{)}^2=10\times 2^3\times 1=10\times 8\times 1=80$ 입니다.

따라서 두 번째 부분에서 나오는 $x^3$ 항은 $80x^3$ 입니다.

최종적으로 전체 전개식에서 $x^3$의 계수는 두 경우의 계수를 더한 값입니다.

$-40+80=40$

따라서 정답은 40이며, 보기 중 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 다항식 분리

$(2x-1{)}^5(x+1)=(2x-1{)}^5·x+(2x-1{)}^5·1$

step2. 일반항

$(2x-1{)}^5$의 일반항: ${}_5{C}_r(2x{)}^{5-r}(-1{)}^r={}_5{C}_r{2}^{5-r}(-1{)}^r{x}^{5-r}$

step3. 계수 계산

1) $(2x-1{)}^5$에서 $x^2$ 항   --- $r=3$

${}_5{C}_3·2^2·(-1{)}^3=10\times 4\times (-1)=-40$

2) $(2x-1{)}^5$에서 $x^3$ 항   --- $r=2$

${}_5{C}_2·2^3·(-1{)}^2=10\times 8\times 1=80$

따라서 $x^3$의 계수 = $-40+80=40$

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