2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 순열과 조합)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

27. 5명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 남학생 5명, 여학생 3명이 있다. 이 8명의 학생 중에서 4명 이상의 남학생을 포함하여 5명의 학생을 선택하고 이 5명의 학생 모두를 일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점] ① 384 ② 408 ③ 432 ④ 456 ⑤ 480

1. 문제의 요지

이 문제는 조건에 맞게 학생을 선택하는 조합의 수와 원순열을 이용하여 경우의 수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 남학생 5명, 여학생 3명
- 4명 이상의 남학생을 포함하여 5명의 학생 선택
- 선택된 5명을 원 모양의 탁자에 둘러앉힘
- 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 봄

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건에 따라 경우를 나누어 조합과 원순열을 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 4명 이상의 남학생을 포함하여 5명을 선택하는 경우를 두 가지로 나눕니다.

step2. 남학생 4명과 여학생 1명을 선택하여 원탁에 앉히는 경우의 수를 구합니다.

step3. 남학생 5명을 선택하여 원탁에 앉히는 경우의 수를 구합니다.

step4. 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 경우의 수 $nCr=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

- 원순열: 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 경우의 수 $(n-1)!$

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] 4명 이상의 남학생을 포함하여 5명을 선택하는 경우를 '남학생 4명, 여학생 1명'과 '남학생 5명'으로 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 4명 이상의 남학생을 포함하여 5명을 선택하는 경우는 다음과 같이 두 가지로 나눌 수 있습니다.

(i) 남학생 4명, 여학생 1명을 선택하는 경우

(ii) 남학생 5명을 선택하는 경우

step2. (i) 남학생 4명, 여학생 1명을 선택하여 원탁에 앉히는 경우의 수를 구합니다.

- 남학생 5명 중 4명을 선택하는 경우의 수: $5C4=5$

- 여학생 3명 중 1명을 선택하는 경우의 수: $3C1=3$

- 선택된 5명을 원탁에 앉히는 경우의 수: $(5-1)!=4!=24$

따라서 이 경우의 수는 $5\times 3\times 24=360$입니다.

step3. (ii) 남학생 5명을 선택하여 원탁에 앉히는 경우의 수를 구합니다.

- 남학생 5명 중 5명을 선택하는 경우의 수: $5C5=1$

- 선택된 5명을 원탁에 앉히는 경우의 수: $(5-1)!=4!=24$

따라서 이 경우의 수는 $1\times 24=24$입니다.

step4. 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$360+24=384$

[함정경고] 학생을 선택하는 과정과 원탁에 앉히는 과정을 분리해서 생각하지 않고 한 번에 계산하려고 하면 실수를 할 수 있습니다. 반드시 '선택'과 '배열'을 나누어 계산하세요.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 경우 나누기

남 4, 여 1 또는 남 5

step2. 남 4, 여 1인 경우

${}_5{C}_4{\times }_3{C}_1\times (5-1)!$

$=5\times 3\times 24=360$

step3. 남 5인 경우

${}_5{C}_5\times (5-1)!$

$=1\times 24=24$

step4. 총합

360 + 24 = 384

$\therefore 384$

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