2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a,b,c$라 할 때, $a+b=8$ 또는 $b\ge c$일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 주사위를 세 번 던지는 시행에서 두 사건의 합사건의 확률을 구하는 문제입니다. 확률의 덧셈정리를 이용하여 각 사건의 경우의 수와 교집합의 경우의 수를 정확히 구하는 것이 핵심입니다.

2. 주어진 조건

- 한 개의 주사위를 세 번 던짐
- 나오는 눈의 수를 차례로 $a,b,c$라 함
- 구하는 확률: $a+b=8$ 또는 $b\ge c$일 확률
- 확률은 $\frac{q}{p}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)
- 구하는 값: $p+q$

3. 풀이의 순서

이 문제는 확률의 덧셈정리를 이용하여 두 사건의 합사건의 확률을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. $a+b=8$인 사건을 $A$라 하고, $A$의 경우의 수를 구합니다.

step3. $b\ge c$인 사건을 $B$라 하고, $B$의 경우의 수를 구합니다.

step4. 두 사건이 동시에 일어나는 $A\cap B$의 경우의 수를 구합니다.

step5. 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 구하고, $p+q$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A,B$에 대하여 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$가 성립합니다. 경우의 수로 나타내면 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] '또는'으로 연결된 두 사건의 확률을 구할 때는 각각의 경우의 수를 더한 후, 중복해서 세어진 교집합의 경우의 수를 빼주는 '확률의 덧셈정리'를 사용해야 합니다.

step1. 전체 경우의 수 구하기

한 개의 주사위를 세 번 던지므로, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 $6\times 6\times 6=216$가지입니다.

step2. 사건 $A$ ($a+b=8$)의 경우의 수 구하기

$a+b=8$을 만족하는 주사위 눈의 순서쌍 $(a,b)$는 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$로 총 5가지입니다.

이때 세 번째 주사위의 눈 $c$는 1부터 6까지 어떤 수가 나와도 상관없으므로 6가지입니다.

따라서 사건 $A$의 경우의 수는 $n(A)=5\times 6=30$가지입니다.

step3. 사건 $B$ ($b\ge c$)의 경우의 수 구하기

$b\ge c$를 만족하는 순서쌍 $(b,c)$의 개수를 구해봅시다.

- $b=1$일 때, $c=1$ (1가지)

- $b=2$일 때, $c=1,2$ (2가지)

- $b=3$일 때, $c=1,2,3$ (3가지)

- $b=4$일 때, $c=1,2,3,4$ (4가지)

- $b=5$일 때, $c=1,2,3,4,5$ (5가지)

- $b=6$일 때, $c=1,2,3,4,5,6$ (6가지)

$(b,c)$의 경우의 수는 $1+2+3+4+5+6=21$가지입니다.

이때 첫 번째 주사위의 눈 $a$는 1부터 6까지 어떤 수가 나와도 상관없으므로 6가지입니다.

따라서 사건 $B$의 경우의 수는 $n(B)=6\times 21=126$가지입니다.

step4. 사건 $A\cap B$ ($a+b=8$ 이고 $b\ge c$)의 경우의 수 구하기

[함정경고] 두 사건을 각각 구한 후 더하기만 하면 교집합 부분이 두 번 더해지게 되므로, 반드시 교집합의 경우의 수를 구해서 빼주어야 합니다.

$a+b=8$을 만족하는 $(a,b)$ 순서쌍 각각에 대해 $b\ge c$를 만족하는 $c$의 개수를 구합니다.

- $(a,b)=(2,6)$일 때, $c\le 6$이므로 $c$는 6가지

- $(a,b)=(3,5)$일 때, $c\le 5$이므로 $c$는 5가지

- $(a,b)=(4,4)$일 때, $c\le 4$이므로 $c$는 4가지

- $(a,b)=(5,3)$일 때, $c\le 3$이므로 $c$는 3가지

- $(a,b)=(6,2)$일 때, $c\le 2$이므로 $c$는 2가지

따라서 사건 $A\cap B$의 경우의 수는 $n(A\cap B)=6+5+4+3+2=20$가지입니다.

step5. 합사건의 확률 및 정답 도출

확률의 덧셈정리에 의해 $a+b=8$ 또는 $b\ge c$일 경우의 수는

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+126-20=136$가지입니다.

구하는 확률은 $\frac{136}{216}$이며, 이를 8로 약분하면 $\frac{17}{27}$이 됩니다.

따라서 $p=27,q=17$이며, 두 수는 서로소인 자연수 조건을 만족합니다.

최종적으로 $p+q=27+17=44$입니다.

[정답] 44

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

전체 경우의 수 = 6³ = 216

step2. 사건 A: a+b=8

(a, b) = (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) -> 5가지

c는 1~6 -> 6가지

$n(A)=5\times 6=30$

step3. 사건 B: b \ge c

(b, c)의 개수 = 1+2+3+4+5+6 = 21가지

a는 1~6 -> 6가지

$n(B)=6\times 21=126$

$(step4.사건A\cap B:a+b=8이고b\ge c)$

(2,6) -> c는 6가지

(3,5) -> c는 5가지

(4,4) -> c는 4가지

(5,3) -> c는 3가지

(6,2) -> c는 2가지

$n(A\cap B)=6+5+4+3+2=20$

step5. 확률 계산

$n(A\cup B)=30+126-20=136$

$P=\frac{136}{216}=\frac{17}{27}$

p=27, q=17

$\therefore 44$

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