2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류	고등학교 (경우의 수/함수의 개수)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

30. 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$의 개수를 구하시오. [4점] (가) $x=1,2,3,4$일 때 $f(x+1)+3\ge f(x)+x$이다. (나) $f(2)$의 값은 홀수이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 부등식 조건과 특정 함숫값의 조건을 만족하는 함수의 개수를 수형도나 경우의 수를 나누어 체계적으로 세는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$
- 함수 $f:X\to X$
- (가) $x=1,2,3,4$일 때, $f(x+1)+3\ge f(x)+x$
- (나) $f(2)$의 값은 홀수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)의 부등식을 정리하고, 조건 (나)에 따라 $f(2)$의 값을 기준으로 경우를 나누어 푸는 방법으로 해결합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)의 부등식을 $f(x+1)\ge f(x)+x-3$ 형태로 정리하고, $x=1,2,3,4$를 대입하여 각 함숫값들 사이의 관계식을 구합니다.

step2. 조건 (나)에 의해 $f(2)$는 홀수이므로, $f(2)$가 가질 수 있는 값인 1, 3, 5를 기준으로 세 가지 경우로 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 $f(1)$이 가질 수 있는 값의 개수를 구합니다.

step4. 각 경우에 대해 $f(3),f(4),f(5)$가 가질 수 있는 순서쌍의 개수를 조합을 이용하여 구합니다.

step5. 구한 경우의 수를 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합 (Combination): 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수로, 기호로는 ${}_n{C}_r$로 나타냅니다. 이 문제에서는 부등식 $a\le b<c$ 형태의 조건을 만족하는 순서쌍의 개수를 구할 때 사용됩니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 주어진 부등식 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다. [키포인트] 조건 (가)의 식을 $f(x+1)\ge f(x)+x-3$으로 정리한 후, $x=1,2,3,4$를 대입하여 함숫값들 사이의 관계를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가) 정리 및 관계식 도출

조건 (가)의 식 $f(x+1)+3\ge f(x)+x$를 정리하면 다음과 같습니다.

$f(x+1)\ge f(x)+x-3$

여기에 $x=1,2,3,4$를 각각 대입하면 다음 네 개의 부등식을 얻을 수 있습니다.

$x=1$ 일 때: $f(2)\ge f(1)-2$

$x=2$ 일 때: $f(3)\ge f(2)-1$

$x=3$ 일 때: $f(4)\ge f(3)$

$x=4$ 일 때: $f(5)\ge f(4)+1$

step2. $f(2)$의 값에 따른 경우 나누기

조건 (나)에서 $f(2)$의 값은 홀수라고 하였고, 공역이 $X=\{1,2,3,4,5\}$이므로 $f(2)$가 가질 수 있는 값은 1, 3, 5입니다.

따라서 $f(2)$의 값을 기준으로 세 가지 경우로 나누어 생각합니다.

step3. & step4. 각 경우별 함수의 개수 구하기

Case 1: $f(2)=1$인 경우

- $f(1)$의 개수: $1\ge f(1)-2$ 이므로 $f(1)\le 3$ 입니다. 따라서 $f(1)$은 1, 2, 3 중 하나를 가질 수 있어 3가지입니다.

- $f(3),f(4),f(5)$의 개수: $f(3)\ge 1-1=0$ 이므로 $f(3)$은 1 이상의 모든 값을 가질 수 있습니다.

$f(3),f(4),f(5)$의 관계는 $f(3)\le f(4)\le f(5)-1$ 이며, 이를 다시 쓰면 $f(3)\le f(4)<f(5)$ 입니다.

$f(3)=k$ ($k=1,2,3,4$)라고 할 때, $k\le f(4)<f(5)\le 5$를 만족하는 $(f(4),f(5))$의 순서쌍 개수는 집합 $\{k,k+1,\dots ,5\}$에서 서로 다른 2개의 수를 뽑는 조합의 수 ${}_{6-k}{C}_2$와 같습니다.

$k=1$ 일 때: ${}_5{C}_2=10$가지

$k=2$ 일 때: ${}_4{C}_2=6$가지

$k=3$ 일 때: ${}_3{C}_2=3$가지

$k=4$ 일 때: ${}_2{C}_2=1$가지

$k=5$ 일 때: $f(4)<f(5)$를 만족할 수 없으므로 0가지

따라서 $f(3),f(4),f(5)$를 정하는 경우의 수는 $10+6+3+1=20$가지입니다.

- Case 1의 총 경우의 수: $3\times 20=60$가지

Case 2: $f(2)=3$인 경우

- $f(1)$의 개수: $3\ge f(1)-2$ 이므로 $f(1)\le 5$ 입니다. 따라서 $f(1)$은 1, 2, 3, 4, 5 모두 가능하여 5가지입니다.

- $f(3),f(4),f(5)$의 개수: $f(3)\ge 3-1=2$ 이므로 $f(3)$은 2 이상이어야 합니다.

이는 Case 1에서 $k\ge 2$인 경우와 같으므로, $6+3+1=10$가지입니다.

- Case 2의 총 경우의 수: $5\times 10=50$가지

Case 3: $f(2)=5$인 경우

- $f(1)$의 개수: $5\ge f(1)-2$ 이므로 $f(1)\le 7$ 입니다. 따라서 $f(1)$은 1, 2, 3, 4, 5 모두 가능하여 5가지입니다.

- $f(3),f(4),f(5)$의 개수: $f(3)\ge 5-1=4$ 이므로 $f(3)$은 4 이상이어야 합니다.

이는 Case 1에서 $k\ge 4$인 경우와 같으므로, 1가지입니다.

- Case 3의 총 경우의 수: $5\times 1=5$가지

[함정경고] $f(3)\le f(4)\le f(5)-1$ 조건에서 $f(4)$와 $f(5)$의 관계를 $f(4)<f(5)$로 변환하여 조합을 사용하는 부분을 놓치기 쉽습니다. 중복조합으로 착각하지 않도록 주의해야 합니다.

step5. 최종 정답 도출

모든 경우의 수를 더하면 $60+50+5=115$가지입니다.

[정답] 115

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 정리

$f(x+1)\ge f(x)+x-3$

$x=1:f(2)\ge f(1)-2$

$x=2:f(3)\ge f(2)-1$

$x=3:f(4)\ge f(3)$

$x=4:f(5)\ge f(4)+1⟹f(4)<f(5)$

step2. $f(2)$ 값에 따른 분류

$f(2)\in \{1,3,5\}$

step3. & 4. 각 경우별 계산

Case 1: $f(2)=1$

$f(1)\le 3⟹3$가지

$f(3)\ge 0⟹f(3)\in \{1,2,3,4,5\}$

$f(3)\le f(4)<f(5)$ 만족하는 순서쌍:

$f(3)=1⟹{}_5{C}_2=10$

$f(3)=2⟹{}_4{C}_2=6$

$f(3)=3⟹{}_3{C}_2=3$

$f(3)=4⟹{}_2{C}_2=1$

$f(3)=5⟹0$

합계: $3\times (10+6+3+1)=60$

Case 2: $f(2)=3$

$f(1)\le 5⟹5$가지

$f(3)\ge 2⟹f(3)\in \{2,3,4,5\}$

합계: $5\times (6+3+1)=50$

Case 3: $f(2)=5$

$f(1)\le 7⟹5$가지

$f(3)\ge 4⟹f(3)\in \{4,5\}$

합계: $5\times 1=5$

step5. 최종 계산

따라서 $60+50+5=115$

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