2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 하나씩 적혀 있는 7장의 카드가 있다. 이 7장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점] ① $\frac{3}{7}$ ② $\frac{1}{2}$ ③ $\frac{4}{7}$ ④ $\frac{9}{14}$ ⑤ $\frac{5}{7}$

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수가 될 확률을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 적힌 7장의 카드
- 7장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열
- 구하는 확률: 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수가 될 확률

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 구하고자 하는 사건의 여사건을 정의하고, 여사건의 경우의 수를 구합니다.

step3. 여사건의 확률을 구한 뒤, 전체 확률 1에서 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 어떤 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A)$라고 할 때, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률(여사건의 확률) $P(A^c)$는 $1-P(A)$이다.

- 순열: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 ${}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] '적어도 하나' 또는 '곱이 짝수'와 같은 조건이 있을 때는 여사건을 이용하는 것이 계산을 훨씬 간단하게 만들어 줍니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

7장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 $7!$입니다.

step2. 구하고자 하는 사건의 여사건을 정의하고, 여사건의 경우의 수를 구합니다.

양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수가 되는 사건을 $A$라고 합시다.

이때, 사건 $A$의 여사건 $A^c$는 '양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수가 되는 사건'입니다.

두 수의 곱이 홀수가 되려면, 양 끝에 놓인 두 수가 모두 홀수여야 합니다.

주어진 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 중에서 홀수는 1, 3, 5, 7로 총 4개입니다.

양 끝에 홀수가 적힌 카드를 놓는 경우의 수는 4개의 홀수 중 2개를 선택하여 나열하는 경우의 수이므로 ${}_4{P}_2=4\times 3=12$입니다.

양 끝에 카드를 놓은 후, 나머지 5장의 카드를 그 사이에 나열하는 경우의 수는 $5!$입니다.

따라서 여사건 $A^c$가 일어날 경우의 수는 $12\times 5!$입니다.

step3. 여사건의 확률을 구한 뒤, 전체 확률 1에서 빼서 정답을 도출합니다.

여사건 $A^c$가 일어날 확률 $P(A^c)$는 다음과 같이 계산됩니다.

$P(A^c)=\frac{12\times 5!}{7!}=\frac{12\times 5!}{7\times 6\times 5!}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$

[함정경고] 여기서 구한 $\frac{2}{7}$은 여사건의 확률입니다. 이를 정답으로 착각하여 오답을 고르지 않도록 주의해야 합니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 확률 $P(A)$는 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 뺀 값입니다.

$P(A)=1-P(A^c)=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$

정답은 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

전체 경우의 수 = $7!$

step2. 여사건의 경우의 수

---(곱이 짝수이므로 여사건인 곱이 홀수인 경우를 구함)

홀수(1, 3, 5, 7) 4개 중 2개를 양 끝에 배치: ${}_4{P}_2=12$

나머지 5개 배치: $5!$

여사건의 경우의 수 = $12\times 5!$

step3. 확률 계산

여사건의 확률 = $\frac{12\times 5!}{7!}=\frac{12}{7\times 6}=\frac{2}{7}$

구하는 확률 = $1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$

$\therefore ⑤$

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