2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 조건부확률)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

28. 공 15개와 비어 있는 세 상자 A, B, C가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 세 상자 A, B, C에 공을 넣는 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 3의 배수이면 세 상자 A, B, C에 넣는 공의 개수가 각각 1, 2, 0이고, 나온 눈의 수가 3의 배수가 아니면 세 상자 A, B, C에 넣는 공의 개수가 각각 1, 1, 1이다. 이 시행을 5번 반복한 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때, 상자 A에 들어 있는 공의 개수와 상자 C에 들어 있는 공의 개수의 합이 8 이상일 확률은? [4점] ① $\frac{44}{61}$ ② $\frac{47}{61}$ ③ $\frac{50}{61}$ ④ $\frac{53}{61}$ ⑤ $\frac{56}{61}$

1. 문제의 요지

이 문제는 독립시행의 확률과 조건부확률을 이용하여 특정 조건을 만족하는 사건의 확률을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 공 15개, 비어 있는 세 상자 A, B, C
- 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 3의 배수일 확률: 26 = 13
- 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 3의 배수가 아닐 확률: 46 = 23
- 3의 배수일 때 A, B, C에 넣는 공의 개수: (1, 2, 0)
- 3의 배수가 아닐 때 A, B, C에 넣는 공의 개수: (1, 1, 1)
- 시행 횟수: 5번
- 조건: 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 홀수
- 구하는 확률: 상자 A와 C에 들어 있는 공의 개수의 합이 8 이상일 확률

3. 풀이의 순서

이 문제는 독립시행의 확률을 이용하여 각 사건의 확률을 구하고, 조건부확률의 정의를 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 3의 배수가 나오는 횟수를 미지수 $x$로 두고, 각 상자에 들어가는 공의 개수를 $x$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 상자 B의 공의 개수가 홀수일 조건(분모)을 만족하는 $x$의 값을 찾고, 그 확률을 계산합니다.

step3. 상자 A와 C의 공의 개수의 합이 8 이상일 조건(분자)을 만족하는 $x$의 값을 찾고, 그 확률을 계산합니다.

step4. 조건부확률 공식을 이용하여 최종 확률을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 독립시행의 확률: 어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$일 때, 이 시행을 $n$번 반복하는 독립시행에서 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)p^r(1-p{)}^{n-r}$ 이다.

- 조건부확률: 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 조건부확률은 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 이다. (단, $P(A)>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 3의 배수가 나오는 횟수를 기준으로 각 상자에 들어가는 공의 개수를 식으로 표현하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

step1. 3의 배수가 나오는 횟수를 미지수 $x$로 두고, 각 상자에 들어가는 공의 개수를 $x$에 대한 식으로 나타냅니다.

주사위를 한 번 던져 3의 배수(3, 6)가 나올 확률은 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이고, 3의 배수가 아닐 확률은 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$입니다.

5번의 시행 중 3의 배수가 나오는 횟수를 $x$ ($0\le x\le 5$, $x$는 정수)라고 하면, 3의 배수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 $5-x$입니다.

이때 각 상자에 들어가는 공의 개수는 다음과 같습니다.

- 상자 A: $1\times x+1\times (5-x)=5$

- 상자 B: $2\times x+1\times (5-x)=x+5$

- 상자 C: $0\times x+1\times (5-x)=5-x$

step2. 상자 B의 공의 개수가 홀수일 조건(분모)을 만족하는 $x$의 값을 찾고, 그 확률을 계산합니다.

조건에서 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 홀수라고 했습니다.

상자 B의 공의 개수는 $x+5$이므로, $x+5$가 홀수가 되려면 $x$는 짝수여야 합니다.

따라서 가능한 $x$의 값은 0, 2, 4입니다.

[함정경고] $x$가 짝수라는 조건을 찾을 때, $x$의 범위가 $0\le x\le 5$임을 잊지 말고 가능한 모든 $x$의 값을 찾아야 합니다.

각 경우의 확률을 독립시행의 확률로 구하면 다음과 같습니다.

- $x=0$일 확률: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^5=1\times 1\times \frac{32}{243}=\frac{32}{243}$

- $x=2$일 확률: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=10\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$

- $x=4$일 확률: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^4{\left(\frac{2}{3}\right)}^1=5\times \frac{1}{81}\times \frac{2}{3}=\frac{10}{243}$

따라서 상자 B의 공의 개수가 홀수일 확률(분모)은 $\frac{32}{243}+\frac{80}{243}+\frac{10}{243}=\frac{122}{243}$입니다.

step3. 상자 A와 C의 공의 개수의 합이 8 이상일 조건(분자)을 만족하는 $x$의 값을 찾고, 그 확률을 계산합니다.

상자 A와 C에 들어 있는 공의 개수의 합은 $5+(5-x)=10-x$입니다.

이 합이 8 이상이어야 하므로, $10-x\ge 8$에서 $x\le 2$입니다.

조건부확률의 분자에 해당하는 사건은 '상자 B의 공의 개수가 홀수이면서 상자 A와 C의 공의 개수의 합이 8 이상인 사건'이므로, $x$는 짝수이면서 2 이하인 값, 즉 $x=0$ 또는 $x=2$입니다.

이 사건의 확률(분자)은 $x=0$일 확률과 $x=2$일 확률의 합이므로 $\frac{32}{243}+\frac{80}{243}=\frac{112}{243}$입니다.

step4. 조건부확률 공식을 이용하여 최종 확률을 구합니다.

구하는 조건부확률은 $\frac{\text{분자}}{\text{분모}}$이므로,

$\frac{\frac{112}{243}}{\frac{122}{243}}=\frac{112}{122}=\frac{56}{61}$입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 미지수 설정 및 공 개수 표현

3의 배수 나올 확률 $p=\frac{1}{3}$, 횟수 $x$   --- $0\le x\le 5$

상자 A: $x+(5-x)=5$

상자 B: $2x+(5-x)=x+5$

상자 C: $0+(5-x)=5-x$

step2. 조건 확률 계산 - 분모

B가 홀수 $\Rightarrow x+5$가 홀수 $\Rightarrow x$는 짝수   --- $x=0,2,4$

$P(x=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)(\frac{1}{3}{)}^0(\frac{2}{3}{)}^5=\frac{32}{243}$

$P(x=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3}{)}^3=\frac{80}{243}$

$P(x=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)(\frac{1}{3}{)}^4(\frac{2}{3}{)}^1=\frac{10}{243}$

분모 = $\frac{32+80+10}{243}=\frac{122}{243}$

step3. 구하는 사건 확률 계산 - 분자

A+C $\ge 8\Rightarrow 5+(5-x)\ge 8\Rightarrow 10-x\ge 8\Rightarrow x\le 2$

조건 만족하는 $x$는 $0,2$

분자 = $P(x=0)+P(x=2)=\frac{32+80}{243}=\frac{112}{243}$

step4. 조건부확률

$\therefore \frac{112/243}{122/243}=\frac{112}{122}=\frac{56}{61}$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기