(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\sqrt[3]{9}\times 3^{-\frac{5}{3}}$의 값은? [선지: ① $\frac{1}{9}$, ② $\frac{1}{3}$, ③ $1$, ④ $3$, ⑤ $9$]

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하고, 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수식: $\sqrt[3]{9}\times 3^{-\frac{5}{3}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환한 후 지수법칙을 적용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 거듭제곱근 $\sqrt[3]{9}$를 밑이 3인 지수 형태로 변환합니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 두 수의 곱을 계산합니다.

step3. 계산된 지수를 바탕으로 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 지수 표현: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (단, $a>0$, $m,n$은 정수, $n\ge 2$)

- 지수법칙 (곱셈): $a^m\times a^n=a^{m+n}$ (단, $a>0$, $m,n$은 실수)

- 음수 지수의 정의: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (단, $a\ne 0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근 기호를 유리수 지수로 바꾸어 밑을 통일하는 것이 계산의 핵심입니다.

step1. 거듭제곱근 $\sqrt[3]{9}$를 밑이 3인 지수 형태로 변환합니다.

$9=3^2$이므로, $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}$입니다.

거듭제곱근의 성질에 따라 이를 지수 형태로 바꾸면 $3^{\frac{2}{3}}$이 됩니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 두 수의 곱을 계산합니다.

주어진 식은 $3^{\frac{2}{3}}\times 3^{-\frac{5}{3}}$로 쓸 수 있습니다.

밑이 3으로 같으므로 지수법칙을 적용하여 지수끼리 더해줍니다.

$3^{\frac{2}{3}+(-\frac{5}{3})}=3^{-\frac{3}{3}}=3^{-1}$

step3. 계산된 지수를 바탕으로 최종 값을 구합니다.

음수 지수의 정의에 따라 $3^{-1}=\frac{1}{3}$이 됩니다.

[함정경고] 지수의 덧셈 과정에서 부호를 헷갈려 $\frac{2}{3}-(-\frac{5}{3})=\frac{7}{3}$로 잘못 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수 변환

$\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}=3^{\frac{2}{3}}$

step2. 지수법칙 적용

$3^{\frac{2}{3}}\times 3^{-\frac{5}{3}}=3^{\frac{2}{3}-\frac{5}{3}}$   --- (밑이 같으므로 지수끼리 덧셈)

$=3^{-1}$

step3. 최종 계산

$=\frac{1}{3}$

$\therefore 정답:②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

거듭제곱근 기호 $\sqrt[3]{9}$를 유리수 지수로 변환하는 과정에서 밑을 3으로 맞추지 못하거나, 음수 지수 $3^{-\frac{5}{3}}$와의 곱셈에서 지수법칙을 올바르게 적용하지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$9$를 $3^2$으로 바꾸어 $\sqrt[3]{3^2}=3^{\frac{2}{3}}$로 변환한 뒤, 밑이 같은 두 수의 곱은 지수끼리의 합($\frac{2}{3}-\frac{5}{3}$)으로 계산한다는 지수법칙을 적용해 보세요. 밑을 소인수분해하여 통일하는 것이 지수 계산의 첫걸음입니다.

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