(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분계수와 도함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=3x^2-x+1$에 대하여 ${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고 다항함수의 도함수를 이용하여 특정한 점에서의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f(x) = 3x² - x + 1
- $구해야할값:{lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 파악하고 도함수를 구하여 대입하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 극한식이 미분계수 $f^{\prime }(1)$을 의미함을 파악합니다.

step2. 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step3. 도함수에 $x=1$을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$이면 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ (단, $n$은 자연수), 상수항의 미분은 0이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 주어진 극한식의 형태를 보고, 이것이 $x=1$에서의 미분계수 $f^{\prime }(1)$을 나타낸다는 것을 바로 떠올리는 것이 이 문제의 핵심입니다!

step1. 주어진 극한식이 의미하는 바를 파악합니다.

우리가 구해야 하는 식은 ${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 입니다.

이 식은 미분계수의 정의에 의해 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 순간변화율, 즉 미분계수인 $f^{\prime }(1)$을 의미합니다.

step2. 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수는 $f(x)=3x^2-x+1$ 입니다.

다항함수의 미분법을 이용하여 도함수를 구하면,

$f^{\prime }(x)=3·2x^{2-1}-1·x^{1-1}+0=6x-1$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 미분 공식을 적용할 때, 상수항 1을 미분하면 0이 된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 상수항은 미분하면 사라진다는 것을 꼭 기억해 주세요.

step3. 도함수에 $x=1$을 대입하여 정답을 도출합니다.

우리가 구하고자 하는 값은 $f^{\prime }(1)$이므로, 방금 구한 도함수 식에 $x=1$을 대입합니다.

$f^{\prime }(1)=6·1-1=5$

따라서 구하는 극한값은 5가 됩니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 미분계수의 정의 파악

${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)$   --- (미분계수의 정의를 이용)

step2. 도함수 구하기

$f(x)=3x^2-x+1$

$f^{\prime }(x)=6x-1$

step3. 값 대입

$f^{\prime }(1)=6(1)-1=5$

$\therefore 5$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주어진 극한식 ${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$이 미분계수 $f^{\prime }(1)$을 의미한다는 개념을 떠올리지 못해 막힐 수 있습니다. 극한식을 직접 계산하려고 할 때, 분자를 인수분해하는 과정에서 계산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

극한식의 형태가 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 꼴일 때는 미분계수의 정의 $f^{\prime }(a)$를 떠올리고, 도함수를 구하여 대입하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다. 다항함수의 미분법 공식을 정확히 숙지하여 도함수를 구하는 연습을 해보세요.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기