(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=19,{\sum }_{k=1}^5(a_k+b_k)=10$ 일 때, ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값은? ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 선형적 성질을 이용하여 주어진 두 식을 연립방정식처럼 풀어 원하는 수열의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=19$
- ${\sum }_{k=1}^5(a_k+b_k)=10$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 선형성을 이용하여 연립방정식 형태로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 구하고자 하는 수열의 합을 각각 $X,Y$로 치환하여 식을 간단히 정리합니다.

step2. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 두 식을 $X,Y$에 대한 연립방정식으로 나타냅니다.

step3. 연립방정식을 풀어 $X$의 값을 구하고, 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마($\sum$)의 성질: ${\sum }_{k=1}^n(c{a}_k+b_k)=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$ (단, $c$는 상수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 시그마($\sum$) 기호 안의 수열이 덧셈과 실수배로 이루어져 있을 때, 시그마를 각각 분리하여 계산할 수 있습니다. 이를 이용해 복잡한 식을 단순한 연립방정식으로 바꿀 수 있습니다.

step1. 계산의 편의를 위해 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k=X$, ${\sum }_{k=1}^5{b}_k=Y$로 치환합니다.

step2. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 두 식을 $X$와 $Y$에 대한 식으로 나타냅니다.

첫 번째 조건식 ${\sum }_{k=1}^5(2a_k+b_k)=19$는 시그마의 성질에 의해 다음과 같이 분리됩니다.

$2{\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=19$

치환한 문자를 대입하면,

$2X+Y=19$ $\cdots$ (기억)

두 번째 조건식 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+b_k)=10$ 역시 시그마의 성질에 의해 분리됩니다.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^5{b}_k=10$

치환한 문자를 대입하면,

$X+Y=10$ $\cdots$ (니은)

step3. (기억)과 (니은)을 연립하여 $X$의 값을 구합니다.

(기억) 식에서 (니은) 식을 빼면 $Y$가 소거됩니다.

$(2X+Y)-(X+Y)=19-10$

$X=9$

[함정경고] 시그마 기호 안의 수열을 각각 구하려고 시도하면 안 됩니다. $a_k$와 $b_k$의 일반항을 알 수 없으므로, 수열의 합 자체를 하나의 덩어리(문자)로 보고 연립방정식으로 접근해야 합니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값은 9입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=X,{\sum }_{k=1}^5{b}_k=Y$라 하자.

step2. 시그마 성질 적용

$2X+Y=19$ $\cdots$ ①

$X+Y=10$ $\cdots$ ②

step3. 연립방정식 풀이

① - ② 를 하면,

$X=9$

$\therefore 9$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

시그마 기호 안의 $a_k$와 $b_k$를 각각 구해야 한다고 착각하여, 일반항을 찾으려다 막힐 수 있습니다. 시그마의 덧셈과 실수배 성질을 정확히 알지 못해 식을 분리하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

수열의 일반항을 모를 때는 시그마 전체를 하나의 덩어리(문자)로 치환하여 연립방정식으로 접근하세요. $\sum (A+B)=\sum A+\sum B$ 성질을 이용해 식을 분리하는 연습을 해보세요.

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