(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=(3x-1)(x^2-2x+2)$에 대하여 $f^{\prime }(2)$의 값은? [3점] ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 도함수를 구하고, 특정 $x$ 값에서의 미분계수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=(3x-1)(x^2-2x+2)$
- 구하는 값: $f^{\prime }(2)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구하고 미분계수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f^{\prime }(2)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법: 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$가 미분가능할 때, $f(x)=u(x)v(x)$의 도함수는 $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 다항식의 곱으로 이루어진 함수는 전개하여 미분하거나, 곱의 미분법을 사용하여 도함수를 구할 수 있습니다. 여기서는 곱의 미분법을 사용하는 것이 계산 실수를 줄이는 좋은 방법입니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수 $f(x)=(3x-1)(x^2-2x+2)$에 곱의 미분법을 적용하면 다음과 같습니다.

$f^{\prime }(x)=(3x-1{)}^{\prime }(x^2-2x+2)+(3x-1)(x^2-2x+2{)}^{\prime }$

여기서 $(3x-1{)}^{\prime }=3$ 이고, $(x^2-2x+2{)}^{\prime }=2x-2$ 이므로,

$f^{\prime }(x)=3(x^2-2x+2)+(3x-1)(2x-2)$ 가 됩니다.

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f^{\prime }(2)$의 값을 계산합니다.

$f^{\prime }(2)=3(2^2-2\times 2+2)+(3\times 2-1)(2\times 2-2)$

$f^{\prime }(2)=3(4-4+2)+(6-1)(4-2)$

$f^{\prime }(2)=3\times 2+5\times 2$

$f^{\prime }(2)=6+10=16$

[함정경고] 곱의 미분법을 적용할 때, $(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }\times v^{\prime }$ 로 착각하여 미분하는 실수를 하기 쉽습니다. 반드시 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 의 형태를 기억하고 적용해야 합니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f^{\prime }(x)=3(x^2-2x+2)+(3x-1)(2x-2)$   --- (곱의 미분법 이용)

step2. 미분계수 계산

$f^{\prime }(2)=3(4-4+2)+(6-1)(4-2)$

$=3(2)+5(2)$

$=6+10=16$

$\therefore 16$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

곱의 미분법 공식을 정확히 기억하지 못해 $(3x-1{)}^{\prime }(x^2-2x+2{)}^{\prime }$와 같이 잘못 미분할 수 있습니다. 도함수를 구한 후 $x=2$를 대입하는 과정에서 단순 사칙연산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 함수의 곱으로 이루어진 식을 미분할 때는 반드시 '앞 미분 $\times$ 뒤 그대로 + 앞 그대로 $\times$ 뒤 미분'의 규칙을 적용해야 합니다. 공식을 적용하기 헷갈린다면, 식을 먼저 모두 전개한 후 다항함수의 미분법을 적용하는 것도 안전한 방법입니다.

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