(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분 - 극대와 극소)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

7. 함수 $f(x)=x^3+ax+9$는 $x=-1$에서 극대이다. 함수 $f(x)$의 극솟값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 다항함수의 극대, 극소의 성질을 이용하여 미정계수를 구하고, 이를 바탕으로 극솟값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=x^3+ax+9$
- $x=-1$에서 극대

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분가능한 함수의 극값의 성질을 이용하여 미정계수를 찾고 극솟값을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $f(x)$를 미분하여 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. $x=-1$에서 극대이므로 $f^{\prime }(-1)=0$임을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step3. $a$의 값을 대입하여 $f^{\prime }(x)=0$이 되는 또 다른 $x$의 값을 찾습니다.

step4. 찾은 $x$의 값을 $f(x)$에 대입하여 극솟값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 극값의 성질: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(\alpha )=0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 미분가능한 함수가 $x=\alpha$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(\alpha )=0$이 됨을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 함수 $f(x)=x^3+ax+9$를 $x$에 대하여 미분하면,

$f^{\prime }(x)=3x^2+a$ 입니다.

step2. 함수 $f(x)$가 $x=-1$에서 극대이므로, $f^{\prime }(-1)=0$이어야 합니다.

$f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2+a=3+a=0$

따라서 $a=-3$ 입니다.

step3. 구한 $a$의 값을 도함수에 대입하면,

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ 입니다.

$f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$의 값은 $x=-1$ 또는 $x=1$ 입니다.

[함정경고] $f^{\prime }(x)=0$이라고 해서 무조건 극값을 갖는 것은 아니지만, 여기서는 $x=-1$과 $x=1$의 좌우에서 $f^{\prime }(x)$의 부호가 바뀌므로 극값을 갖는 것이 맞습니다. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소를 가집니다.

step4. 극솟값은 $x=1$일 때의 함숫값이므로, $f(x)=x^3-3x+9$에 $x=1$을 대입합니다.

$f(1)=1^3-3(1)+9=1-3+9=7$

따라서 극솟값은 7입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f^{\prime }(x)=3x^2+a$

step2. $a$ 값 구하기

$f^{\prime }(-1)=3+a=0$   --- ($x=-1$에서 극대이므로)

$\therefore a=-3$

step3. 극소를 갖는 $x$ 찾기

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0$

$x=-1$ (극대), $x=1$   --- 극소

step4. 극솟값 계산

$f(1)=1-3+9=7$

$\therefore 7$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극대라는 조건을 보고 도함수 $f^{\prime }(-1)=0$을 떠올리지 못하거나, $a$를 구한 후 극솟값을 가지는 $x$의 위치를 찾지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

미분가능한 함수가 특정 $x$에서 극값을 가지면 그 점에서의 미분계수가 0임을 기억하세요. $f^{\prime }(-1)=0$을 이용해 $a$를 구하고, $f^{\prime }(x)=0$의 다른 근을 찾아 극솟값을 계산하면 됩니다.

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