(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질과 방정식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

10. 두 양수 $a,b$가 ${\log }_{9}a+{\log }_{3}b=2,{\log }_{3}a=8{\log }_{9}b$ 를 만족시킬 때, $\frac{a}{b}$의 값은? [4점] ① 1 ② 3 ③ 9 ④ 27 ⑤ 81

1. 문제의 요지

이 문제는 밑의 변환 공식을 이용하여 로그의 밑을 통일하고, 연립방정식을 풀어 미지수의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a > 0, b > 0
- ${\log }_{9}a+{\log }_{3}b=2$
- ${\log }_{3}a=8{\log }_{9}b$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 밑을 통일하여 연립방정식을 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 성질을 이용하여 밑을 3으로 통일합니다.

step2. 두 식을 연립하여 ${\log }_{3}a$와 ${\log }_{3}b$의 값을 구합니다.

step3. 로그의 차를 이용하여 ${\log }_3\left(\frac{a}{b}\right)$의 값을 구하고, 최종적으로 $\frac{a}{b}$를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 밑의 변환: ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0$)

- 로그의 차: ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0,y>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그 방정식에서 밑이 9와 3으로 다르게 주어졌을 때는, 가장 먼저 밑을 같게 만들어주는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다!

step1. 로그의 성질을 이용하여 밑을 3으로 통일합니다.

주어진 식에서 밑이 9인 로그를 밑이 3인 로그로 바꾸어 보겠습니다. $9=3^2$이므로 로그의 밑의 변환 성질을 이용하면 다음과 같이 바꿀 수 있어요.

${\log }_{9}a={\log }_{3^2}a=\frac{1}{2}{\log }_{3}a$

${\log }_{9}b={\log }_{3^2}b=\frac{1}{2}{\log }_{3}b$

[함정경고] 여기서 ${\log }_{9}a$를 $\frac{1}{2}{\log }_{3}a$로 바꿀 때, 계수 $\frac{1}{2}$을 빠뜨리거나 2로 잘못 곱하는 실수를 하기 쉬우니 주의해야 합니다.

이제 이 변환된 식을 원래의 두 조건에 대입해 볼게요.

첫 번째 조건: $\frac{1}{2}{\log }_{3}a+{\log }_{3}b=2$

두 번째 조건: ${\log }_{3}a=8\times \frac{1}{2}{\log }_{3}b=4{\log }_{3}b$

step2. 두 식을 연립하여 ${\log }_{3}a$와 ${\log }_{3}b$의 값을 구합니다.

두 번째 조건에서 얻은 ${\log }_{3}a=4{\log }_{3}b$를 첫 번째 조건에 대입해 볼까요?

$\frac{1}{2}(4{\log }_{3}b)+{\log }_{3}b=2$

$2{\log }_{3}b+{\log }_{3}b=2$

$3{\log }_{3}b=2$

따라서 ${\log }_{3}b=\frac{2}{3}$이 됩니다.

이 값을 다시 ${\log }_{3}a=4{\log }_{3}b$에 대입하면,

${\log }_{3}a=4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$을 얻을 수 있어요.

step3. 로그의 차를 이용하여 ${\log }_3\left(\frac{a}{b}\right)$의 값을 구하고, 최종적으로 $\frac{a}{b}$를 도출합니다.

우리가 구해야 하는 값은 $\frac{a}{b}$입니다. 로그의 차 성질을 이용하면 ${\log }_{3}a$와 ${\log }_{3}b$의 값을 통해 쉽게 접근할 수 있어요.

${\log }_3\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{3}a-{\log }_{3}b$

앞서 구한 값을 대입하면,

${\log }_3\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2$가 됩니다.

로그의 정의에 따라 $\frac{a}{b}=3^2=9$가 됩니다.

따라서 정답은 9입니다. 차근차근 밑을 통일하고 연립방정식을 푸니 잘 해결되었죠?

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑을 3으로 통일

${\log }_{9}a+{\log }_{3}b=2\Rightarrow \frac{1}{2}{\log }_{3}a+{\log }_{3}b=2$

${\log }_{3}a=8{\log }_{9}b\Rightarrow {\log }_{3}a=4{\log }_{3}b$

step2. 연립방정식 풀이

$\frac{1}{2}(4{\log }_{3}b)+{\log }_{3}b=2$   --- (대입)

$3{\log }_{3}b=2\Rightarrow {\log }_{3}b=\frac{2}{3}$

${\log }_{3}a=4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$

step3. 정답 도출

${\log }_3\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{3}a-{\log }_{3}b=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$   --- (로그의 차 성질 이용)

$\therefore \frac{a}{b}=3^2=9$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 밑이 9와 3으로 다르게 주어져 있어 두 식을 어떻게 연립해야 할지 막막할 수 있습니다. - ${\log }_{9}a$를 밑이 3인 로그로 변환할 때, ${\log }_{3^2}a=\frac{1}{2}{\log }_{3}a$가 되는 성질을 정확히 적용하지 못해 계산이 꼬일 수 있습니다.

🔑 돌파구

- 로그 방정식에서 밑이 다를 때는 가장 먼저 밑을 통일하는 것을 목표로 삼으세요. 9는 $3^2$이므로 밑을 3으로 맞추는 것이 좋습니다. - ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$ 공식을 활용하여 식을 간단히 한 후, ${\log }_{3}a$와 ${\log }_{3}b$를 하나의 문자처럼 생각하고 연립방정식을 풀어보세요. - 팁: 로그의 밑이 거듭제곱 꼴일 때는 지수를 앞으로 빼내어 밑을 통일하는 연습을 꾸준히 해보세요.

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