(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$이 $2a_1(a_1+a_3)=5a_2(a_1+a_2)=20$을 만족시킬 때, $a_1\times a_6$의 값은? ① $\frac{1}{27}$ ② $\frac{1}{9}$ ③ $\frac{1}{3}$ ④ $1$ ⑤ $3$

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 공비와 첫째항의 제곱을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등비수열 $\{a_n\}$의 공비는 양수
- $2a_1(a_1+a_3)=20$
- $5a_2(a_1+a_2)=20$

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 공비와 첫째항의 제곱을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$로 두고 주어진 두 식을 $a$와 $r$에 대한 식으로 변환합니다.

step2. 두 식을 나누어 $a^2$을 소거하고 $r$에 대한 이차방정식을 세워 양수인 공비 $r$을 구합니다.

step3. 구한 $r$을 대입하여 $a^2$의 값을 구합니다.

step4. 구하고자 하는 $a_1\times a_6$을 $a$와 $r$로 나타내고, 앞서 구한 값을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$n$항은 $a_n=a{r}^{n-1}$이다.

5. 구체적 풀이

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 합시다. 문제에서 공비가 양수라고 했으므로 $r>0$입니다.

[키포인트] 등비수열의 모든 항을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 표현하여 연립방정식을 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 조건을 $a$와 $r$에 대한 식으로 변환합니다.

$a_1=a$, $a_2=ar$, $a_3=a{r}^2$이므로,

첫 번째 조건식 $2a_1(a_1+a_3)=20$에 대입하면,

$2a(a+a{r}^2)=20$

양변을 2로 나누고 $a$를 묶어내면,

$a^2(1+r^2)=10$ --- (기억)

두 번째 조건식 $5a_2(a_1+a_2)=20$에 대입하면,

$5ar(a+ar)=20$

양변을 5로 나누고 $a$를 묶어내면,

$a^{2}r(1+r)=4$ --- (니은)

step2. 두 식을 연립하여 공비 $r$을 구합니다.

(기억) 식을 (니은) 식으로 나누면 $a^2$을 소거할 수 있습니다.

$\frac{a^2(1+r^2)}{a^{2}r(1+r)}=\frac{10}{4}$

$\frac{1+r^2}{r(1+r)}=\frac{5}{2}$

대각선으로 곱하여 정리하면,

$2(1+r^2)=5r(1+r)$

$2+2r^2=5r+5r^2$

우변으로 항을 모두 이항하면,

$3r^2+5r-2=0$

인수분해하면,

$(3r-1)(r+2)=0$

따라서 $r=\frac{1}{3}$ 또는 $r=-2$입니다.

문제에서 공비가 양수라고 했으므로 $r=\frac{1}{3}$입니다.

[함정경고] 여기서 이차방정식의 해가 두 개 나오는데, 문제의 '공비가 양수'라는 조건을 놓치고 음수 값을 선택하거나 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 구한 $r$을 대입하여 $a^2$의 값을 구합니다.

$r=\frac{1}{3}$을 (기억) 식에 대입하면,

$a^2(1+(\frac{1}{3}{)}^2)=10$

$a^2(1+\frac{1}{9})=10$

$a^2(\frac{10}{9})=10$

양변에 $\frac{9}{10}$를 곱하면,

$a^2=9$

step4. 구하고자 하는 $a_1\times a_6$의 값을 계산합니다.

$a_1=a$, $a_6=a{r}^5$이므로,

$a_1\times a_6=a\times a{r}^5=a^2{r}^5$

앞서 구한 $a^2=9$와 $r=\frac{1}{3}$을 대입하면,

$a^2{r}^5=9\times (\frac{1}{3}{)}^5=9\times \frac{1}{243}=\frac{9}{243}=\frac{1}{27}$

따라서 정답은 $\frac{1}{27}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 변환

$a_n=a{r}^{n-1}$ $(r>0)$

$2a(a+a{r}^2)=20⟹a^2(1+r^2)=10$   --- (1)

$5ar(a+ar)=20⟹a^{2}r(1+r)=4$   --- (2)

step2. 연립하여 r 구하기

(1) / (2) 를 하면

$\frac{1+r^2}{r(1+r)}=\frac{5}{2}$   --- ($a^2$ 약분)

$2+2r^2=5r+5r^2$

$3r^2+5r-2=0$

$(3r-1)(r+2)=0$

$\therefore r=\frac{1}{3}$   --- ($r>0$ 이므로)

step3. $a^2$ 구하기

$r=\frac{1}{3}$을 (1)에 대입하면

$a^2(1+\frac{1}{9})=10$

$a^2\times \frac{10}{9}=10⟹a^2=9$

step4. 정답 도출

$a_1\times a_6=a\times a{r}^5=a^2{r}^5$

$=9\times (\frac{1}{3}{)}^5=9\times \frac{1}{243}=\frac{1}{27}$

$\therefore 정답:①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주어진 두 개의 식을 어떻게 연립해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. 특히 $a^2$과 $r$이 섞여 있는 비선형 연립방정식 형태라 덧셈이나 뺄셈으로는 해결이 안 되어 당황하기 쉽습니다. 또한 $a_1\times a_6$을 구하라고 할 때, $a$의 값을 정확히 구하려고 하다가 $a=\pm 3$에서 부호를 결정하지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

등비수열 문제에서 곱으로 이루어진 두 식을 연립할 때는 두 식을 '나누어' 공통인수($a^2$)를 약분하는 것이 가장 효과적인 접근법입니다. 구하고자 하는 식 $a_1\times a_6$을 먼저 $a$와 $r$로 표현해 보세요. $a^2{r}^5$이 되므로, $a$의 부호를 몰라도 $a^2$ 값만 알면 충분히 답을 낼 수 있습니다. 구해야 할 목표의 형태를 미리 파악하면 불필요한 고민을 줄일 수 있습니다.

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