(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

양수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $0\le x\le 2$일 때 $x$에 대한 방정식 $(\cos (b\pi x)-\frac{1}{2})(a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2})=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 15이다. $a+b$의 값은? [4점] ① 6 ② $\frac{13}{2}$ ③ 7 ④ $\frac{15}{2}$ ⑤ 8

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각방정식의 실근의 개수가 그래프와 직선의 교점의 개수와 같음을 이용하여, 주어진 조건을 만족하는 미지수 $a,b$의 값을 추론하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a>0$
- $b$는 자연수
- $0\le x\le 2$
- $(\cos (b\pi x)-\frac{1}{2})(a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2})=0$의 서로 다른 실근의 개수는 15

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 주기성과 치역을 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식을 두 개의 $\cos (b\pi x)$에 대한 일차방정식으로 분리합니다.

step2. $0\le x\le 2$ 구간에서 $\cos (b\pi x)$ 그래프의 주기 개수를 파악하고, 첫 번째 방정식의 실근 개수를 구합니다.

step3. 두 번째 방정식의 우변의 값의 범위를 $a$의 조건에 따라 분석하여 경우를 나눕니다.

step4. 각 경우별로 총 실근의 개수를 구하고, 조건에 맞는 $a,b$의 값을 찾아 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각방정식의 실근의 개수: 방정식 $f(x)=k$의 실근의 개수는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=k$의 교점의 개수와 같습니다.

- 코사인 함수의 주기와 치역: 함수 $y=\cos (kx)$의 주기는 $\frac{2\pi }{|k|}$이고, 치역은 $[-1,1]$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 방정식 $f(x)g(x)=0$의 실근은 $f(x)=0$ 또는 $g(x)=0$을 만족하는 $x$의 값이며, 삼각방정식의 실근의 개수는 그래프의 교점의 개수로 파악해야 합니다.

step1. 주어진 방정식을 분리합니다.

$(\cos (b\pi x)-\frac{1}{2})(a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2})=0$

위 식이 성립하려면 다음 두 조건 중 하나를 만족해야 합니다.

$\cos (b\pi x)=\frac{1}{2}$ $\cdots$ (1)

또는 $a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2}=0⟹\cos (b\pi x)=-\frac{a+2}{2a}$ $\cdots$ (2)

step2. 구간에 따른 주기와 (1)의 실근 개수를 구합니다.

$x$의 범위가 $0\le x\le 2$이므로, 각도 $b\pi x$의 범위는 $0\le b\pi x\le 2b\pi$입니다.

$\cos (t)$ 함수의 주기는 $2\pi$이므로, 이 구간에서 $\cos (b\pi x)$의 그래프는 정확히 $b$개의 주기를 가집니다.

방정식 (1) $\cos (b\pi x)=\frac{1}{2}$의 경우, 한 주기 $[0,2\pi )$에서 실근이 2개 존재합니다.

따라서 $b$개의 주기 동안 방정식 (1)의 실근의 개수는 $2b$개입니다.

step3. 방정식 (2)의 우변을 분석하여 경우를 나눕니다.

방정식 (2)의 우변을 변형하면 다음과 같습니다.

$-\frac{a+2}{2a}=-\frac{a}{2a}-\frac{2}{2a}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{a}$

문제에서 $a$는 양수라고 했으므로 $\frac{1}{a}>0$입니다.

따라서 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{a}<-\frac{1}{2}$가 성립합니다.

[함정경고] 여기서 코사인 함수의 최솟값이 -1이라는 사실을 놓치면 안 됩니다. 우변의 값이 -1보다 작아지면 교점이 발생하지 않으므로, 우변의 값과 -1의 대소 관계를 기준으로 경우를 나누어야 합니다.

step4. $a$의 값에 따라 경우를 나누어 총 실근의 개수를 구합니다.

(i) $-\frac{a+2}{2a}=-1$ 인 경우

$-a-2=-2a⟹a=2$입니다.

이때 방정식 (2)는 $\cos (b\pi x)=-1$이 됩니다.

한 주기에서 $\cos (b\pi x)=-1$을 만족하는 실근은 1개이므로, $b$개의 주기 동안 실근은 $b$개입니다.

총 실근의 개수는 (1)의 실근 $2b$개와 (2)의 실근 $b$개를 합하여 $3b$개가 됩니다.

문제에서 총 실근의 개수가 15라고 했으므로 $3b=15⟹b=5$입니다.

$b=5$는 자연수 조건을 만족하므로, $a=2,b=5$는 해가 됩니다.

(ii) $-1<-\frac{a+2}{2a}<-\frac{1}{2}$ 인 경우

이 부등식을 풀면 $a>2$가 됩니다.

이때 방정식 (2)는 한 주기에서 2개의 실근을 가집니다.

따라서 $b$개의 주기 동안 실근은 $2b$개입니다.

총 실근의 개수는 $2b+2b=4b$개가 됩니다.

$4b=15⟹b=\frac{15}{4}$가 되는데, 이는 $b$가 자연수라는 조건에 모순입니다.

(iii) $-\frac{a+2}{2a}<-1$ 인 경우

이 부등식을 풀면 $0<a<2$가 됩니다.

코사인 함수의 최솟값은 -1이므로, 이 경우 방정식 (2)는 실근을 가지지 않습니다.

총 실근의 개수는 (1)의 실근인 $2b$개뿐입니다.

$2b=15⟹b=\frac{15}{2}$가 되는데, 이 역시 자연수 조건에 모순입니다.

결론적으로 조건을 만족하는 값은 $a=2,b=5$뿐입니다.

따라서 $a+b=2+5=7$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 분리

$\cos (b\pi x)=\frac{1}{2}$ 또는 $\cos (b\pi x)=-\frac{a+2}{2a}$

step2. 첫 번째 식의 실근 개수

$0\le x\le 2⟹0\le b\pi x\le 2b\pi$

$\cos (b\pi x)$는 총 $b$개의 주기를 가짐

$\cos (b\pi x)=\frac{1}{2}$의 실근은 한 주기당 2개 $⟹$ 총 $2b$개

step3. 두 번째 식의 우변 분석

$-\frac{a+2}{2a}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{a}$

$a>0$이므로 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{a}<-\frac{1}{2}$

step4. 경우 나누기 및 정답 도출

(i) $-\frac{a+2}{2a}=-1⟹a=2$

---(코사인 최솟값이 -1이므로 한 주기당 1개 실근)

총 실근 = $2b+b=3b=15⟹b=5$   --- 자연수 조건 만족

(ii) $-1<-\frac{a+2}{2a}<-\frac{1}{2}⟹a>2$

---(한 주기당 2개 실근)

총 실근 = $2b+2b=4b=15⟹b=\frac{15}{4}$   --- 모순

(iii) $-\frac{a+2}{2a}<-1⟹0<a<2$

---(실근 없음)

총 실근 = $2b=15⟹b=\frac{15}{2}$   --- 모순

∴ $a=2,b=5⟹a+b=7$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 두 번째 방정식 $\cos (b\pi x)=-\frac{a+2}{2a}$에서 우변의 식을 보고 당황하여 실근의 개수를 어떻게 파악해야 할지 막힐 수 있습니다. 특히 $a$가 양수라는 조건만으로 우변의 범위를 한정 짓고, 코사인 함수의 최솟값인 -1을 기준으로 경우를 나누어야 한다는 발상을 떠올리기 어렵습니다.

🔑 돌파구

우변의 식을 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{a}$로 분리하여 값의 범위를 파악해 보세요. 코사인 함수의 치역이 $[-1,1]$이므로, 우변이 -1일 때(접할 때), -1보다 클 때(두 점에서 만날 때), -1보다 작을 때(만나지 않을 때)로 나누어 교점의 개수를 세면 문제가 해결됩니다. 미지수가 포함된 삼각방정식은 항상 치역의 양끝값(-1, 1)을 기준으로 교점의 개수가 변한다는 점을 기억하세요.

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