(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (부정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime }(x)=6x^2+5$이고 $f(0)=3$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수가 주어졌을 때 부정적분을 이용하여 원함수를 구하고, 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f'(x) = 6x² + 5
- f(0) = 3

3. 풀이의 순서

이 문제는 부정적분을 이용하여 도함수로부터 원함수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 주어진 함숫값 $f(0)$을 이용하여 적분상수 $C$를 구합니다.

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 부정적분: 함수 $f(x)$의 도함수가 $f^{\prime }(x)$일 때, $f(x)=\int f^{\prime }(x)dx$ 이다.

- 다항함수의 적분법: $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$ (단, $n$은 음이 아닌 정수, $C$는 적분상수)

5. 구체적 풀이

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

$f^{\prime }(x)=6x^2+5$ 이므로, 양변을 $x$에 대하여 적분하면

$f(x)=\int (6x^2+5)dx=2x^3+5x+C$ (단, $C$는 적분상수) 가 됩니다.

[키포인트] 도함수가 주어졌을 때 원함수를 구하려면 부정적분을 해야 하며, 이때 반드시 적분상수 $C$를 붙여주어야 합니다.

step2. 주어진 함숫값 $f(0)$을 이용하여 적분상수 $C$를 구합니다.

문제에서 $f(0)=3$이라고 주어졌으므로, 위에서 구한 식에 $x=0$을 대입합니다.

$f(0)=2(0{)}^3+5(0)+C=C$

따라서 $C=3$ 입니다.

[함정경고] 적분상수 $C$를 구하지 않고 바로 $x=1$을 대입하여 계산하는 실수를 하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 구합니다.

적분상수 $C$를 대입하여 $f(x)$를 완성하면,

$f(x)=2x^3+5x+3$ 입니다.

이제 $x=1$을 대입하면,

$f(1)=2(1{)}^3+5(1)+3=2+5+3=10$ 이 됩니다.

[정답] 10

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분

$f(x)=\int (6x^2+5)dx$

$f(x)=2x^3+5x+C$   --- (적분상수 C 포함)

step2. 적분상수 구하기

$f(0)=C=3$   --- ($f(0)=3$ 대입)

$\therefore f(x)=2x^3+5x+3$

step3. 함숫값 계산

$f(1)=2(1{)}^3+5(1)+3=10$

$\therefore 10$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹거나, $f(0)=3$이라는 조건을 어떻게 활용해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. 특히 적분상수를 생략하면 정확한 함수식을 완성할 수 없어 오답으로 이어집니다.

🔑 돌파구

도함수를 적분할 때는 항상 적분상수 $C$를 붙이는 습관을 들이세요. 문제에 주어진 함숫값(여기서는 $f(0)=3$)은 바로 이 적분상수를 구하기 위한 열쇠임을 기억하면 쉽게 해결할 수 있습니다.

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