(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_6=5$, $a_5=a_2-6$ 일 때, $a_1$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 첫째항과 공차를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열 $\{a_n\}$은 등차수열
- $a_6=5$
- $a_5=a_2-6$

3. 풀이의 순서

이 문제는 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 공차와 첫째항을 순차적으로 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 첫째항과 공차에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 두 번째 조건식에서 공차를 구합니다.

step3. 구한 공차를 첫 번째 조건식에 대입하여 첫째항을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 제$n$항은 $a_n=a+(n-1)d$이다.

5. 구체적 풀이

등차수열의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 합시다.

[키포인트] 등차수열의 모든 항은 첫째항과 공차를 이용하여 표현할 수 있습니다.

step1. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 첫째항과 공차에 대한 식으로 나타냅니다.

$a_6=5$ 이므로 $a+5d=5$ $\cdots$ (1)

$a_5=a_2-6$ 이므로 $a+4d=(a+d)-6$ $\cdots$ (2)

step2. 두 번째 조건식에서 공차를 구합니다.

식 (2)를 정리하면,

$a+4d=a+d-6$

양변에서 $a$를 소거하고 $d$에 대해 정리하면,

$3d=-6$

$d=-2$

[함정경고] 항의 번호 차이가 곧 공차의 개수 차이임을 이용하면 $a_5-a_2=3d$임을 바로 알 수 있습니다. 여기서 부호를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 구한 공차를 첫 번째 조건식에 대입하여 첫째항을 구합니다.

$d=-2$를 식 (1)에 대입하면,

$a+5(-2)=5$

$a-10=5$

$a=15$

따라서 첫째항 $a_1$의 값은 15입니다.

[정답] 15

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 세우기

$a_6=a+5d=5$

$a_5-a_2=-6$

step2. 공차 구하기

$3d=-6$   --- (항의 번호 차이가 공차의 개수)

$d=-2$

step3. 첫째항 구하기

$a+5(-2)=5$   --- ($a_6$ 식에 대입)

$a-10=5$

$a=15$

$\therefore 15$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

등차수열의 각 항을 첫째항과 공차로 표현하는 기본 개념을 떠올리지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다. 또한, $a_5=a_2-6$ 식에서 $a$가 소거된다는 사실을 눈치채지 못하고 미지수가 2개라 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

등차수열 문제는 항상 $a_n=a+(n-1)d$ 공식을 사용하여 모든 항을 $a$와 $d$로 바꾸어 쓰는 것부터 시작하세요. 항의 번호 차이가 공차의 개수 차이($a_m-a_n=(m-n)d$)임을 기억하면 계산을 훨씬 빠르게 할 수 있습니다.

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