(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분, 접선의 방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

곡선 $y=x^3-5x^2+3x+6$ 위의 점 $(1,5)$에서의 접선의 $y$절편을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수를 이용하여 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선의 $y$절편을 찾을 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선: $y=x^3-5x^2+3x+6$
- 곡선 위의 점: $(1,5)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 이용하여 접선의 기울기를 구하고, 접선의 방정식을 세워 $y$절편을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 함수의 도함수를 구합니다.

step2. 도함수에 $x=1$을 대입하여 접선의 기울기를 구합니다.

step3. 기울기와 주어진 점을 이용하여 접선의 방정식을 세우고, $y$절편을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 도함수: 함수 $f(x)=x^n$의 도함수는 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$이다.

- 접선의 방정식: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$이다.

5. 구체적 풀이

함수 $f(x)=x^3-5x^2+3x+6$ 이라 합니다.

[키포인트] 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 그 점의 $x$좌표에서의 미분계수와 같습니다. 따라서 먼저 도함수를 구해야 합니다.

step1. 주어진 함수의 도함수를 구합니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2-10x+3$

step2. 도함수에 $x=1$을 대입하여 접선의 기울기를 구합니다.

$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-10(1)+3=-4$

따라서 점 $(1,5)$에서의 접선의 기울기는 $-4$입니다.

step3. 기울기와 주어진 점을 이용하여 접선의 방정식을 세우고, $y$절편을 구합니다.

기울기가 $-4$이고 점 $(1,5)$를 지나는 직선의 방정식은

$y-5=-4(x-1)$

$y=-4x+4+5$

$y=-4x+9$

[함정경고] 접선의 방정식을 구한 후, 문제에서 요구하는 것이 접선의 방정식 자체가 아니라 '$y$절편'임을 놓치기 쉽습니다. 끝까지 문제를 잘 읽어야 합니다.

이 접선의 $y$절편은 $x=0$일 때의 $y$값이므로 $9$입니다.

[정답] 9

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f(x)=x^3-5x^2+3x+6$

$f^{\prime }(x)=3x^2-10x+3$

step2. 접선의 기울기

$f^{\prime }(1)=3-10+3=-4$

step3. 접선의 방정식 및 $y$절편

$y-5=-4(x-1)$

$y=-4x+9$

---($y$절편은 $x=0$일 때의 $y$값)

$y$절편은 $9$

$\therefore 9$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

도함수를 구하는 과정에서 계산 실수를 하거나, 접선의 방정식을 세우는 공식을 정확히 기억하지 못해 막힐 수 있습니다. 또한, 접선의 방정식을 구하고도 $y$절편을 구하는 것을 잊어버릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

미분 공식을 정확히 적용하여 도함수를 구하고, $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$ 공식을 사용하여 접선의 방정식을 세웁니다. 마지막으로 $x=0$을 대입하여 $y$절편을 찾습니다. 접선의 방정식을 구하는 문제는 항상 '기울기'와 '지나는 점' 두 가지를 찾는 것에 집중하세요.

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