(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 1보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$과 $g(x)=-{\log }_{b}x$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점 P의 좌표를 $(\alpha ,\beta )$라 하자. 다음은 $\alpha {\beta }^3=1$일 때, 직선 OP의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, O는 원점이다.) 제1사분면에 있는 점 P$(\alpha ,\beta )$는 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$ 위의 점이므로, 두 양수 $\alpha ,\beta$가 $\beta =b^{\alpha }$, $\beta =-{\log }_b\alpha$를 만족시킨다. $\alpha {\beta }^3=1$이고 $\alpha ={\log }_b\beta$, $\beta =-{\log }_b\alpha$이므로 $3\alpha -\beta =3{\log }_b\beta +{\log }_b\alpha ={\log }_b(\alpha {\beta }^3)=0$이다. 그러므로 $m=\frac{\beta }{\alpha }=$ (가) 이다. ${\beta }^4=m\alpha {\beta }^3=m$이므로 $\beta =$ (나) 이다. $b={\alpha }^{-\frac{1}{\beta }}$이고 $\alpha =\frac{\beta }{m}$이므로 $g(m)=-{\log }_{b}m=\frac{\beta }{{\log }_m\alpha }=\frac{\beta }{-1+{\log }_m\beta }=$ (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q,r$이라 할 때, $(p\times q\times r{)}^2$의 값을 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수와 로그함수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 단계별로 추론하는 빈칸 추론 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $b>1$
- $f(x)=b^x,g(x)=-{\log }_{b}x$
- 점 P$(\alpha ,\beta )$는 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 교점 (제1사분면)
- $\alpha {\beta }^3=1$
- $m=\frac{\beta }{\alpha }$ (직선 OP의 기울기)

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 증명 과정의 논리적 흐름을 따라가며 빈칸에 알맞은 값을 순차적으로 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $3\alpha -\beta =0$ 관계식을 이용하여 (가)의 값을 구합니다.

step2. ${\beta }^4=m$ 관계식과 (가)에서 구한 $m$의 값을 이용하여 (나)의 값을 구합니다.

step3. $g(m)$의 식에 $m$과 $\beta$의 값을 대입하여 (다)의 값을 구합니다.

step4. 구한 $p,q,r$의 값을 이용하여 최종적으로 $(p\times q\times r{)}^2$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질: ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0$)

- 지수법칙: $a^m\times a^n=a^{m+n}$ (단, $a>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 빈칸 추론 문제는 앞뒤 문맥의 논리적 연결 고리를 파악하는 것이 핵심입니다. 주어진 식을 변형하거나 앞서 구한 값을 대입하여 다음 빈칸을 채워나갑니다.

step1. (가) 구하기

주어진 과정에서 $3\alpha -\beta =0$이라는 식이 도출되었습니다.

이를 정리하면 $\beta =3\alpha$가 됩니다.

직선 OP의 기울기 $m$은 $m=\frac{\beta }{\alpha }$로 주어졌으므로, $\beta =3\alpha$를 대입하면

$m=\frac{3\alpha }{\alpha }=3$이 됩니다.

따라서 (가)에 알맞은 수 $p=3$입니다.

step2. (나) 구하기

주어진 과정에서 ${\beta }^4=m$이라는 식이 주어졌습니다.

앞선 단계에서 $m=3$임을 구했으므로, 이를 대입하면 ${\beta }^4=3$이 됩니다.

점 P는 제1사분면 위의 점이므로 $\beta >0$입니다.

따라서 $\beta =3^{\frac{1}{4}}$이 됩니다.

그러므로 (나)에 알맞은 수 $q=3^{\frac{1}{4}}$입니다.

step3. (다) 구하기

주어진 과정의 마지막 부분에서 $g(m)=\frac{\beta }{-1+{\log }_m\beta }$라는 식이 주어졌습니다.

여기에 $m=3$과 $\beta =3^{\frac{1}{4}}$을 대입하여 계산합니다.

먼저 분모의 로그 부분을 계산하면,

${\log }_m\beta ={\log }_3(3^{\frac{1}{4}})=\frac{1}{4}$입니다.

이를 식에 대입하면,

$g(m)=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{-1+\frac{1}{4}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}}$이 됩니다.

따라서 (다)에 알맞은 수 $r=-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}}$입니다.

[함정경고] (다)를 구할 때 분모의 계산 실수나 번분수 처리에 주의해야 합니다. 차분하게 식을 정리하는 것이 중요합니다.

step4. 최종 값 계산하기

구하고자 하는 값은 $(p\times q\times r{)}^2$입니다.

앞서 구한 $p,q,r$의 값을 대입하여 계산합니다.

$p\times q\times r=3\times 3^{\frac{1}{4}}\times (-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}})$

$=-4\times (3^{\frac{1}{4}}\times 3^{\frac{1}{4}})$

$=-4\times 3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$

$=-4\times 3^{\frac{1}{2}}$

$=-4\sqrt{3}$

따라서 $(p\times q\times r{)}^2=(-4\sqrt{3}{)}^2=16\times 3=48$이 됩니다.

[정답] 48

⚡ 실전용 풀이

step1. (가) 구하기

$3\alpha -\beta =0⟹\beta =3\alpha$

$m=\frac{\beta }{\alpha }=\frac{3\alpha }{\alpha }=3$

$\therefore p=3$

step2. (나) 구하기

${\beta }^4=m=3$

$\beta >0$ 이므로 $\beta =3^{\frac{1}{4}}$

$\therefore q=3^{\frac{1}{4}}$

step3. (다) 구하기

$g(m)=\frac{\beta }{-1+{\log }_m\beta }$

$m=3,\beta =3^{\frac{1}{4}}$ 대입

${\log }_m\beta ={\log }_3(3^{\frac{1}{4}})=\frac{1}{4}$

$g(3)=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{-1+\frac{1}{4}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}}$

$\therefore r=-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}}$

step4. 최종 계산

$p\times q\times r=3\times 3^{\frac{1}{4}}\times (-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{4}})=-4\times 3^{\frac{1}{2}}=-4\sqrt{3}$

$(p\times q\times r{)}^2=(-4\sqrt{3}{)}^2=48$

$\therefore 48$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 (다)를 구하는 과정에서 $g(m)$의 복잡한 식 형태에 당황하거나, 앞서 구한 $m$과 $\beta$의 값을 대입하여 계산하는 과정에서 지수와 로그의 연산 실수를 할 가능성이 높습니다. 특히 분모의 $-1+{\log }_m\beta$를 계산하고 번분수를 처리하는 부분에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

빈칸 추론 문제에서는 복잡해 보이는 식이라도 앞서 구한 값들을 차분히 대입하면 해결되는 경우가 많습니다. $m=3$, $\beta =3^{\frac{1}{4}}$을 $g(m)$ 식에 대입하고, ${\log }_3(3^{\frac{1}{4}})=\frac{1}{4}$임을 이용하여 분모를 먼저 간단히 한 후 번분수 계산을 수행하세요. 복잡한 식일수록 부분적으로 나누어 계산하는 것이 실수를 줄이는 팁입니다.

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