(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 정적분과 함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

상수항이 0인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\int }_p^{p+3}|f(x)|dx\ne |{\int }_p^{p+3}f(x)dx|$ 가 되도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 범위는 $0<p<3$이다. (나) ${\int }_0^3|f(x)+q|dx\ne |{\int }_0^3(f(x)+q)dx|$ 가 되도록 하는 모든 실수 $q$의 값의 범위는 $0<q<1$이다. $f(6)$의 값은? ① 18 ② 21 ③ 24 ④ 27 ⑤ 30

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 함수의 부호가 바뀌는 구간을 파악하고, 이를 통해 삼차함수의 식을 추론하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 상수항이 0인 삼차함수 $f(x)$
- (가) ${\int }_p^{p+3}|f(x)|dx\ne |{\int }_p^{p+3}f(x)dx|$ 가 되도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 범위는 $0<p<3$이다.
- (나) ${\int }_0^3|f(x)+q|dx\ne |{\int }_0^3(f(x)+q)dx|$ 가 되도록 하는 모든 실수 $q$의 값의 범위는 $0<q<1$이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분 부등식을 통해 함수의 부호 변화점을 찾고 그래프의 개형을 추론하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 해석하여 $f(x)$의 부호가 바뀌는 점을 찾고, $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 조건 (나)를 해석하여 구간 $(0,3)$에서 $f(x)+q$의 부호가 바뀌는 조건을 찾습니다.

step3. $f(x)$의 극솟값을 이용하여 $q$의 범위를 구하고, 이를 통해 최고차항의 계수를 결정합니다.

step4. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=6$을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분과 넓이의 관계: ${\int }_a^b|f(x)|dx\ne |{\int }_a^{b}f(x)dx|$ 이면 구간 $(a,b)$ 내에서 $f(x)$의 부호가 바뀌는 점이 적어도 하나 존재한다.

- 삼차함수의 그래프와 극값: $f^{\prime }(x)=0$을 만족하는 $x$에서 극값을 가지며, 이를 통해 주어진 구간에서의 치역을 구할 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] ${\int }_a^b|f(x)|dx\ne |{\int }_a^{b}f(x)dx|$ 라는 조건은 구간 $(a,b)$ 내에서 피적분함수 $f(x)$의 부호가 바뀌는 점이 존재한다는 것을 의미합니다. 이 성질을 이용하여 $f(x)$의 근의 위치를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)를 해석하여 $f(x)$의 부호가 바뀌는 점을 찾고, $f(x)$의 식을 세웁니다.

조건 (가)에 의해 구간 $(p,p+3)$ 내에서 $f(x)$의 부호가 바뀌어야 합니다.

부호가 바뀌는 점을 $x=k$라고 하면, $k$가 구간 $(p,p+3)$에 속해야 하므로 $p<k<p+3$ 이 성립합니다.

이 부등식을 $p$에 대해 정리하면 $k-3<p<k$ 가 됩니다.

조건 (가)에서 이 $p$의 범위가 $0<p<3$이라고 주어졌으므로, $k=3$임을 알 수 있습니다. 즉, $f(x)$는 $x=3$에서 부호가 바뀝니다.

한편, $f(x)$는 상수항이 0이므로 $f(0)=0$입니다. 즉, $x=0$도 $f(x)$의 근입니다.

[함정경고] 여기서 $x=0$에서도 부호가 바뀐다고 착각하기 쉽습니다. 만약 $x=0$에서 부호가 바뀐다면 $p<0<p+3$ 즉 $-3<p<0$ 범위에서도 조건 (가)의 부등식이 성립해야 하므로 주어진 $p$의 범위와 모순이 발생합니다.

따라서 $x=0$에서는 부호가 바뀌지 않아야 하므로 $x=0$은 중근이어야 합니다.

결과적으로 $f(x)$의 식은 $f(x)=a{x}^2(x-3)$ (단, $a>0$) 형태로 세울 수 있습니다.

step2. 조건 (나)를 해석하여 구간 $(0,3)$에서 $f(x)+q$의 부호가 바뀌는 조건을 찾습니다.

조건 (나)에 의해 구간 $(0,3)$ 내에서 $f(x)+q$의 부호가 바뀌어야 합니다.

이는 방정식 $f(x)+q=0$, 즉 $f(x)=-q$ 가 구간 $(0,3)$ 내에서 실근을 가져야 함을 의미합니다.

step3. $f(x)$의 극솟값을 이용하여 $q$의 범위를 구하고, 이를 통해 최고차항의 계수를 결정합니다.

$f(x)=a(x^3-3x^2)$ 이므로 미분하면 $f^{\prime }(x)=3ax(x-2)$ 입니다.

$f^{\prime }(x)=0$에서 $x=0$ 또는 $x=2$이므로, $f(x)$는 $x=2$에서 극솟값 $f(2)=a(8-12)=-4a$ 를 가집니다.

구간 $(0,3)$에서 $f(x)$의 치역은 $[-4a,0)$ 입니다.

$f(x)=-q$ 가 이 구간에서 실근을 가지려면 $-q$ 가 치역 내에 존재해야 하므로 $-4a<-q<0$ 이 성립해야 합니다.

이를 $q$에 대해 정리하면 $0<q<4a$ 가 됩니다.

조건 (나)에서 이 $q$의 범위가 $0<q<1$이라고 주어졌으므로, $4a=1$ 이 되어 $a=\frac{1}{4}$ 임을 알 수 있습니다.

따라서 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2(x-3)$ 입니다.

step4. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=6$을 대입하여 정답을 도출합니다.

$f(6)=\frac{1}{4}\times 6^2\times (6-3)=\frac{1}{4}\times 36\times 3=27$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 (가) 해석 및 f(x) 식 세우기

${\int }_p^{p+3}|f(x)|dx\ne |{\int }_p^{p+3}f(x)dx|$

---(구간 $(p,p+3)$에서 $f(x)$의 부호가 바뀜)

부호가 바뀌는 점을 $x=k$라 하면, $p<k<p+3\Rightarrow k-3<p<k$

조건에서 $0<p<3$이므로 $k=3$

$f(0)=0$이고 $x=0$에서는 부호가 바뀌지 않아야 하므로 $x=0$은 중근

$\therefore f(x)=a{x}^2(x-3)$   --- ($a>0$)

step2. 조건 (나) 해석

${\int }_0^3|f(x)+q|dx\ne |{\int }_0^3(f(x)+q)dx|$

---(구간 $(0,3)$에서 $f(x)+q=0$ 인 실근 존재)

$\Rightarrow f(x)=-q$ 인 실근이 $(0,3)$에 존재

step3. a값 구하기

$f^{\prime }(x)=3ax(x-2)$

$x=2$에서 극솟값 $f(2)=-4a$

구간 $(0,3)$에서 $f(x)$의 치역은 $[-4a,0)$

$-4a<-q<0\Rightarrow 0<q<4a$

조건에서 $0<q<1$이므로 $4a=1\Rightarrow a=\frac{1}{4}$

$\therefore f(x)=\frac{1}{4}{x}^2(x-3)$

step4. 정답 도출

$f(6)=\frac{1}{4}\times 36\times 3=27$

$\therefore 27$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (가)의 정적분 부등식을 '구간 내에서 함수의 부호가 바뀐다'는 기하학적 의미로 해석하지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다. 또한 $f(0)=0$이라는 조건과 결합하여 $x=0$에서 부호가 바뀌지 않아야 함(즉, 중근을 가져야 함)을 추론하는 과정에서 논리적 비약이나 혼동이 올 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\int |f|\ne |\int f|$는 피적분함수의 부호가 구간 내에서 변한다는 것을 의미함을 기억하고, 부호가 바뀌는 점 $x=k$가 구간 $(p,p+3)$에 속할 조건 $p<k<p+3$을 세워봅니다. $f(0)=0$이므로 $x=0$이 근인데, 만약 $x=0$에서 부호가 바뀐다면 $p$의 범위에 음수가 포함되어야 하므로 모순임을 파악하여 $x=0$이 중근임을 확정짓습니다. (팁: 정적분 부등식은 부호 변화점의 위치를 알려주는 강력한 힌트입니다.)

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