(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. $\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$인 $\theta$에 대하여 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$일 때, $\tan \theta$의 값은? ① -3 ② -2 ③ -1 ④ 2 ⑤ 3

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 부호와 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$
- ${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 사이의 관계식과 사분면에 따른 부호를 이용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 각의 범위를 통해 $\tan \theta$의 부호를 결정합니다.

step2. 삼각함수 사이의 관계식 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$를 이용하여 ${\tan }^2\theta$의 값을 구합니다.

step3. 앞서 구한 부호와 ${\tan }^2\theta$의 값을 종합하여 $\tan \theta$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 부호: 제4사분면($\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$)에서 $\cos \theta >0$, $\sin \theta <0$, $\tan \theta <0$이다.

- 삼각함수 사이의 관계: $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수의 값을 구할 때는 항상 주어진 각이 어느 사분면에 속하는지 확인하여 부호를 먼저 결정하는 것이 중요합니다.

step1. 주어진 각의 범위를 통해 $\tan \theta$의 부호를 결정합니다.

주어진 조건에서 $\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$이므로, $\theta$는 제4사분면의 각입니다.

제4사분면에서는 $\cos \theta$만 양수이고, $\sin \theta$와 $\tan \theta$는 음수입니다.

따라서 $\tan \theta <0$입니다.

step2. 삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 ${\tan }^2\theta$의 값을 구합니다.

삼각함수 사이의 관계식 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$를 이용합니다.

주어진 조건에서 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$이므로, 이를 대입하면 다음과 같습니다.

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$

${\tan }^2\theta =10-1=9$

[함정경고] 여기서 ${\tan }^2\theta =9$를 구한 후, 무심코 $\tan \theta =3$이라고 양수 값을 선택하기 쉽습니다. 반드시 step1에서 확인한 사분면에 따른 부호를 적용해야 합니다.

step3. 앞서 구한 부호와 ${\tan }^2\theta$의 값을 종합하여 $\tan \theta$의 값을 도출합니다.

${\tan }^2\theta =9$이므로 $\tan \theta =3$ 또는 $\tan \theta =-3$입니다.

step1. 에서 $\tan \theta <0$임을 확인했으므로, $\tan \theta =-3$입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 부호 결정

$\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$   --- 제4사분면

$\therefore \tan \theta <0$

step2. ${\tan }^2\theta$ 계산

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$   --- (삼각함수 관계식 이용)

$1+{\tan }^2\theta =10$

${\tan }^2\theta =9$

step3. $\tan \theta$ 도출

$\tan \theta =\pm 3$

$\tan \theta <0$이므로,

$\therefore \tan \theta =-3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

${\tan }^2\theta$의 값을 구한 후, 제곱근을 취할 때 부호를 고려하지 않아 양수 값으로 잘못 선택할 수 있습니다. 삼각함수 사이의 관계식($1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$)을 떠올리지 못해 계산 방향을 잡지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각함수 문제에서는 항상 주어진 각의 범위를 통해 사분면을 파악하고, '올-사-탄-코' 규칙을 이용해 구하고자 하는 값의 부호를 먼저 적어두는 습관을 들입니다. ${\cos }^2\theta$가 주어졌을 때 $\tan \theta$를 구하려면 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ 공식을 바로 적용하면 계산이 훨씬 간결해집니다.

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