(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 순열과 조합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

23. 4개의 문자 $x,y,z,z$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점] ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

1. 문제의 요지

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 공식을 이용하여 경우의 수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 4개의 문자 $x,y,z,z$
- 모두 일렬로 나열

3. 풀이의 순서

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 공식을 이용하여 경우의 수를 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복된 문자의 개수를 파악합니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 경우의 수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개 있을 때, 이 $n$개를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!\cdots r!}$ 이다. (단, $p+q+\cdots +r=n$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 같은 문자가 포함된 경우, 전체를 나열하는 경우의 수에서 같은 문자들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수만큼 중복이 발생하므로 이를 나누어 주어야 합니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복된 문자의 개수를 파악합니다.

주어진 문자는 $x,y,z,z$로 총 4개입니다.

이 중 문자 $z$가 2개로 중복되어 있습니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 경우의 수를 계산합니다.

4개의 문자를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 $4!$입니다.

그런데 $z$가 2개 있으므로, 이 두 $z$가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수인 $2!$만큼 중복이 발생합니다.

따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같습니다.

$\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$

[함정경고] 중복된 문자가 있음에도 불구하고 단순히 서로 다른 4개의 문자로 착각하여 $4!=24$로 계산하기 쉽습니다. 반드시 같은 문자의 개수를 확인하고 그 팩토리얼로 나누어 주어야 합니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 문자 개수 파악

전체 문자: 4개   --- $x,y,z,z$

중복 문자: $z$   --- 2개

step2. 경우의 수 계산

$\frac{4!}{2!}$   --- (같은 것이 있는 순열 이용)

$=\frac{24}{2}$

$=12$

$\therefore 12$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

중복된 문자가 포함된 순열을 계산할 때, 같은 문자들끼리 자리를 바꾸는 경우를 고려하지 않아 전체 경우의 수를 $4!$로 잘못 계산할 수 있습니다. 같은 것이 있는 순열의 공식을 정확히 기억하지 못해 식을 세우는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

전체 문자의 개수를 팩토리얼로 계산한 뒤, 중복된 문자의 개수만큼 팩토리얼로 나누어 주는 '같은 것이 있는 순열' 공식을 적용하세요. 팁: 문자를 나열할 때 똑같이 생긴 문자가 여러 개 있다면, 그 개수의 팩토리얼만큼 반드시 나누어 주어야 중복을 피할 수 있습니다.

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