(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 조건부확률과 독립시행)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

28. 앞면에 숫자 $1,2,3,4,5,6$이 하나씩 적혀 있는 카드 6장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다. 이 6장의 카드가 다음과 같이 놓여 있다. 숫자 $1,6$이 적힌 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고, 숫자 $2,3,4,5$가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다. 이 6장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때, $k$가 홀수이면 $k$ 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고, $k$가 짝수이면 $k$ 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 4번 반복한 후 6장의 카드가 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점] ① $\frac{19}{162}$ ② $\frac{13}{108}$ ③ $\frac{10}{81}$ ④ $\frac{41}{324}$ ⑤ $\frac{7}{54}$

1. 문제의 요지

이 문제는 주사위의 눈에 따라 카드를 뒤집는 규칙을 이해하고, 4번의 시행 후 특정 상태(모두 앞면)가 되기 위한 주사위 눈의 조합을 찾는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 카드 6장: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- 초기 상태: 1, 6은 뒷면(B), 2, 3, 4, 5는 앞면(F)
- 시행 규칙: 주사위 눈 $k$에 대해
- - $k$가 홀수(1, 3, 5): $k$ 이하의 카드 뒤집기
- - $k$가 짝수(2, 4, 6): $k$ 이상의 카드 뒤집기
- 시행 횟수: 4번
- 목표 상태: 6장 모두 앞면(F)

3. 풀이의 순서

이 문제는 각 카드가 뒤집히는 횟수의 홀짝성을 분석하여 조건을 만족하는 주사위 눈의 조합을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 4번의 시행 후 모든 카드가 앞면이 되기 위해 각 카드가 뒤집혀야 하는 횟수의 홀짝성을 파악합니다.

step2. 주사위 눈 $k$가 나올 때 뒤집히는 카드를 정리하고, 각 주사위 눈이 나오는 횟수를 변수로 두어 카드가 뒤집히는 총 횟수를 식으로 나타냅니다.

step3. step1과 step2의 결과를 바탕으로 변수들의 홀짝성(패리티)에 대한 연립 합동식을 세우고, 가능한 홀짝성 패턴을 분류합니다.

step4. 분류된 각 패턴에 대해 4번의 시행으로 가능한 경우의 수를 계산하고 모두 더합니다.

step5. 전체 경우의 수로 나누어 최종 확률을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 홀짝성(패리티) 분석: 어떤 상태가 두 가지(앞면/뒷면)로만 변할 때, 초기 상태에서 목표 상태로 가기 위해 필요한 변화 횟수의 홀짝성을 분석하는 방법입니다.

- 같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, ... 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!...}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 각 카드가 뒤집히는 횟수의 홀짝성을 분석하여 조건을 만족하는 주사위 눈의 조합을 찾는 방법으로 풀이합니다.

step1. 각 카드가 뒤집혀야 하는 횟수의 홀짝성 파악

초기 상태에서 1, 6번 카드는 뒷면, 2, 3, 4, 5번 카드는 앞면입니다.

4번의 시행 후 모든 카드가 앞면이 되려면:

- 뒷면인 1, 6번 카드는 홀수 번 뒤집혀야 합니다.

- 앞면인 2, 3, 4, 5번 카드는 짝수 번 뒤집혀야 합니다.

step2. 주사위 눈에 따른 카드 뒤집기 횟수 수식화

주사위 눈 $k$가 나올 때 뒤집히는 카드는 다음과 같습니다.

- $k=1$: 1

- $k=2$: 2, 3, 4, 5, 6

- $k=3$: 1, 2, 3

- $k=4$: 4, 5, 6

- $k=5$: 1, 2, 3, 4, 5

- $k=6$: 6

4번의 시행 중 주사위 눈 $k$가 나오는 횟수를 $x_k$라고 합시다. ($x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4$)

각 카드가 뒤집히는 총 횟수는 다음과 같습니다.

- 1번 카드: $x_1+x_3+x_5$ (홀수)

- 2번 카드: $x_2+x_3+x_5$ (짝수)

- 3번 카드: $x_2+x_3+x_5$ (짝수)

- 4번 카드: $x_2+x_4+x_5$ (짝수)

- 5번 카드: $x_2+x_4+x_5$ (짝수)

- 6번 카드: $x_2+x_4+x_6$ (홀수)

step3. 변수들의 홀짝성 패턴 분류

위의 조건들을 연립하여 $x_k$의 홀짝성을 알아냅니다.

① (1번 횟수) - (2번 횟수) = $(x_1+x_3+x_5)-(x_2+x_3+x_5)=x_1-x_2$

(홀수) - (짝수) = (홀수)이므로, $x_1$과 $x_2$는 홀짝성이 다릅니다.

② (2번 횟수) - (4번 횟수) = $(x_2+x_3+x_5)-(x_2+x_4+x_5)=x_3-x_4$

(짝수) - (짝수) = (짝수)이므로, $x_3$과 $x_4$는 홀짝성이 같습니다.

③ (6번 횟수) - (4번 횟수) = $(x_2+x_4+x_6)-(x_2+x_4+x_5)=x_6-x_5$

(홀수) - (짝수) = (홀수)이므로, $x_5$와 $x_6$은 홀짝성이 다릅니다.

이제 $x_3,x_4$의 홀짝성을 기준으로 경우를 나눕니다.

[키포인트] $x_3,x_4$가 짝수인지 홀수인지에 따라 나머지 변수들의 홀짝성이 결정됩니다.

경우 1: $x_3,x_4$가 모두 짝수인 경우

2번 카드 횟수 $x_2+x_3+x_5$가 짝수이므로, $x_2+x_5$도 짝수여야 합니다. 즉, $x_2,x_5$는 홀짝성이 같습니다.

- $x_2,x_5$가 모두 짝수이면, $x_1,x_6$은 모두 홀수입니다. $\to$ 패턴 A: (홀, 짝, 짝, 짝, 짝, 홀)

- $x_2,x_5$가 모두 홀수이면, $x_1,x_6$은 모두 짝수입니다. $\to$ 패턴 B: (짝, 홀, 짝, 짝, 홀, 짝)

경우 2: $x_3,x_4$가 모두 홀수인 경우

2번 카드 횟수 $x_2+x_3+x_5$가 짝수이므로, $x_2+x_5$는 홀수여야 합니다. 즉, $x_2,x_5$는 홀짝성이 다릅니다.

- $x_2$가 홀수, $x_5$가 짝수이면, $x_1$은 짝수, $x_6$은 홀수입니다. $\to$ 패턴 C: (짝, 홀, 홀, 홀, 짝, 홀)

- $x_2$가 짝수, $x_5$가 홀수이면, $x_1$은 홀수, $x_6$은 짝수입니다. $\to$ 패턴 D: (홀, 짝, 홀, 홀, 홀, 짝)

step4. 각 패턴별 경우의 수 계산

총 4번의 시행이므로 변수들의 합은 4입니다.

- 패턴 A (홀, 짝, 짝, 짝, 짝, 홀)

- 홀수가 3, 1인 경우: (3, 0, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0, 3) $\to$ 각각 $\frac{4!}{3!1!}=4$가지. 총 $4\times 2=8$가지.

- 홀수가 1, 1이고 짝수 중 하나가 2인 경우: 짝수 자리 4개 중 2가 들어갈 1곳 선택 (4가지). 예: (1, 2, 0, 0, 0, 1) $\to$ $\frac{4!}{1!2!1!}=12$가지. 총 $12\times 4=48$가지.

- 패턴 A의 총 경우의 수: $8+48=56$가지.

- 패턴 B (짝, 홀, 짝, 짝, 홀, 짝)

- 패턴 A와 구조가 동일하므로 총 56가지입니다.

- 패턴 C (짝, 홀, 홀, 홀, 짝, 홀)

- 홀수 자리가 4개이므로 모두 1이어야 합이 4가 됩니다. (0, 1, 1, 1, 0, 1)

- 경우의 수: $4!=24$가지.

- 패턴 D (홀, 짝, 홀, 홀, 홀, 짝)

- 패턴 C와 구조가 동일하므로 총 24가지입니다.

[함정경고] 각 패턴에서 합이 4가 되는 숫자 조합을 찾을 때, 0이 포함된 경우 같은 것이 있는 순열을 정확히 적용해야 합니다. 순서를 고려하지 않고 조합만 찾으면 오답이 됩니다.

조건을 만족하는 총 경우의 수는 $56+56+24+24=160$가지입니다.

step5. 확률 계산

주사위를 4번 던지는 전체 경우의 수는 $6^4=1296$가지입니다.

따라서 구하는 확률은 $\frac{160}{1296}=\frac{10}{81}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 목표 상태의 홀짝성

1, 6번 카드: 뒷면 $\to$ 앞면   --- 홀수 번 뒤집힘

2, 3, 4, 5번 카드: 앞면 $\to$ 앞면   --- 짝수 번 뒤집힘

step2. 주사위 눈 $k$의 횟수 $x_k$

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4$

1번 뒤집힘: $x_1+x_3+x_5$   --- 홀

2번 뒤집힘: $x_2+x_3+x_5$   --- 짝

4번 뒤집힘: $x_2+x_4+x_5$   --- 짝

6번 뒤집힘: $x_2+x_4+x_6$   --- 홀

step3. 홀짝성 패턴 분석

(1번)-(2번): $x_1-x_2$ = 홀 $⟹x_1,x_2$ 다름

(2번)-(4번): $x_3-x_4$ = 짝 $⟹x_3,x_4$ 같음

(6번)-(4번): $x_6-x_5$ = 홀 $⟹x_5,x_6$ 다름

$x_3,x_4$ 짝수일 때:

$x_2+x_5$ = 짝 $⟹x_2,x_5$ 같음

- $x_2,x_5$ 짝 $⟹x_1,x_6$ 홀:   --- 홀,짝,짝,짝,짝,홀

- $x_2,x_5$ 홀 $⟹x_1,x_6$ 짝:   --- 짝,홀,짝,짝,홀,짝

$x_3,x_4$ 홀수일 때:

$x_2+x_5$ = 홀 $⟹x_2,x_5$ 다름

- $x_2$ 홀, $x_5$ 짝 $⟹x_1$ 짝, $x_6$ 홀:   --- 짝,홀,홀,홀,짝,홀

- $x_2$ 짝, $x_5$ 홀 $⟹x_1$ 홀, $x_6$ 짝:   --- 홀,짝,홀,홀,홀,짝

step4. 경우의 수 계산

(홀,짝,짝,짝,짝,홀): (3,0,0,0,0,1)류 $2\times \frac{4!}{3!}=8$, (1,2,0,0,0,1)류 $4\times \frac{4!}{2!}=48$ $\to$ 56

(짝,홀,짝,짝,홀,짝): 위와 동일 $\to$ 56

(짝,홀,홀,홀,짝,홀): (0,1,1,1,0,1) $\to$ $4!=24$

(홀,짝,홀,홀,홀,짝): 위와 동일 $\to$ 24

총합 = $56+56+24+24=160$

step5. 확률

$\frac{160}{6^4}=\frac{160}{1296}=\frac{10}{81}$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생들은 주사위 눈에 따라 뒤집히는 카드의 규칙을 수식화하는 단계에서 가장 많이 막힙니다. 6개의 카드가 각각 뒤집히는 조건을 개별적으로 생각하다 보면 경우의 수가 너무 많아져 혼란에 빠지기 쉽습니다.

🔑 돌파구

각 카드가 뒤집히는 총 횟수를 주사위 눈이 나온 횟수($x_k$)들의 합으로 표현하고, 목표 상태가 되기 위한 '홀짝성(패리티)' 조건으로 변환하는 것이 핵심입니다. 연립 합동식을 세워 변수들 간의 홀짝성 관계를 파악하면 복잡한 경우를 4가지 패턴으로 깔끔하게 분류할 수 있습니다.

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