(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 중복조합과 경우의 수)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

노란색 공 4개, 보라색 공 4개, 검은색 공 4개가 있다. 이 12개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 같은 것이 있는 순열과 중복조합을 이용하여, 두 종류의 공이 이웃하지 않도록 제3의 공을 경계에 끼워 넣는 경우의 수를 논리적으로 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 노란색 공(Y) 4개
- 보라색 공(P) 4개
- 검은색 공(B) 4개
- 노란색 공과 보라색 공은 서로 이웃하지 않음
- 같은 색 공끼리는 구별하지 않음

3. 풀이의 순서

이 문제는 노란색 공과 보라색 공을 먼저 배열한 뒤, 두 색이 만나는 경계에 검은색 공을 끼워 넣는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 노란색 공(Y)과 보라색 공(P)을 나열할 때 발생하는 경계의 개수 c의 범위를 설정합니다.

step2. c의 값(1~4)에 따라 Y와 P를 나열하는 경우의 수를 각각 구합니다.

step3. 각 경우에 대해 검은색 공(B) 4개를 경계와 나머지 자리에 배치하는 경우의 수를 중복조합으로 계산합니다.

step4. 모든 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복조합: 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 r개를 선택하는 경우의 수는 nHr = (n+r-1)Cr 이다.

- 자연수 분할 (조합 활용): n개의 같은 물건을 빈 그룹 없이 k개의 그룹으로 나누는 경우의 수는 (n-1)C(k-1) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 노란색 공과 보라색 공이 이웃하지 않으려면, 두 색의 공이 만나는 경계마다 반드시 검은색 공이 들어가야 합니다. 따라서 노란색과 보라색 공을 먼저 배열한 뒤, 그 경계에 검은색 공을 끼워 넣는 방식으로 접근하는 것이 핵심입니다!

step1. 노란색 공(Y) 4개와 보라색 공(P) 4개를 일렬로 나열할 때, Y와 P가 바뀌는 지점(경계)의 개수를 $c$라고 합시다.

검은색 공(B)은 4개뿐이므로, 모든 경계에 최소 1개의 B를 넣으려면 $c\le 4$이어야 합니다.

step2. $c$의 값에 따라 Y와 P를 나열하는 경우의 수를 구합니다.

Y 4개를 $a$개의 묶음으로, P 4개를 $b$개의 묶음으로 나눈다고 생각하면, 각 묶음에는 적어도 1개의 공이 있어야 합니다.

4개의 공을 $k$개의 묶음으로 나누는 경우의 수는 $k$개의 자연수 합으로 4를 만드는 경우의 수와 같으며, 이는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4-1}{k-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k-1}\right)$입니다.

- $c=1$인 경우: (Y 1묶음, P 1묶음)

Y-P 순서: Y 1묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)=1$), P 1묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)=1$) $\to 1\times 1=1$가지

P-Y 순서: 1가지

총 2가지

- $c=2$인 경우: (Y 2묶음, P 1묶음 또는 P 2묶음, Y 1묶음)

Y-P-Y 순서: Y 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$), P 1묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)=1$) $\to 3\times 1=3$가지

P-Y-P 순서: P 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$), Y 1묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)=1$) $\to 3\times 1=3$가지

총 6가지

- $c=3$인 경우: (Y 2묶음, P 2묶음)

Y-P-Y-P 순서: Y 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$), P 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$) $\to 3\times 3=9$가지

P-Y-P-Y 순서: 9가지

총 18가지

- $c=4$인 경우: (Y 3묶음, P 2묶음 또는 P 3묶음, Y 2묶음)

Y-P-Y-P-Y 순서: Y 3묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$), P 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$) $\to 3\times 3=9$가지

P-Y-P-Y-P 순서: P 3묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$), Y 2묶음($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$) $\to 3\times 3=9$가지

총 18가지

step3. 각 경우에 대해 검은색 공(B) 4개를 배치하는 경우의 수를 구합니다.

Y와 P 총 8개를 나열하면, 양 끝과 사이사이에 총 9개의 자리가 생깁니다.

이 중 $c$개의 경계 자리에는 반드시 B가 1개씩 들어가야 하므로, 남은 B의 개수는 $4-c$개입니다.

남은 $4-c$개의 B를 9개의 자리에 중복을 허락하여 넣는 경우의 수는 중복조합 ${}_9{H}_{4-c}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9+(4-c)-1}{4-c}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12-c}{4-c}\right)$입니다.

- $c=1$일 때: 남은 B는 3개. ${}_9{H}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=\frac{11\times 10\times 9}{3\times 2\times 1}=165$가지.

따라서 $2\times 165=330$가지.

- $c=2$일 때: 남은 B는 2개. ${}_9{H}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$가지.

따라서 $6\times 45=270$가지.

- $c=3$일 때: 남은 B는 1개. ${}_9{H}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)=9$가지.

따라서 $18\times 9=162$가지.

- $c=4$일 때: 남은 B는 0개. ${}_9{H}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)=1$가지.

따라서 $18\times 1=18$가지.

step4. 모든 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$330+270+162+18=780$

[함정경고] 검은색 공을 먼저 배열하고 그 사이사이에 노란색과 보라색 공을 넣는 방식으로 풀 수도 있지만, 이 경우 빈칸에 노란색과 보라색이 어떻게 들어가는지 케이스를 나누는 과정이 매우 복잡해져 계산 실수를 하기 쉽습니다. 제한된 검은색 공을 '경계'에 끼워 넣는다는 발상의 전환이 필요합니다.

[정답] 780

⚡ 실전용 풀이

step1. Y, P 배열 시 경계 개수 $c$ 설정

Y 4개, P 4개 배열 시 Y-P 경계 개수를 $c$라 하자.

B가 4개이므로 $c\le 4$

step2. $c$에 따른 Y, P 배열 경우의 수

$c=1$: Y-P, P-Y $\to 1\times 1\times 2=2$

$c=2$: Y-P-Y, P-Y-P $\to \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times 1\times 2=6$

$c=3$: Y-P-Y-P, P-Y-P-Y $\to \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times 2=18$

$c=4$: Y-P-Y-P-Y, P-Y-P-Y-P $\to \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times 2=18$

step3. B 4개 배치

--- 9개의 자리 중 $c$개의 경계에 B를 1개씩 넣고, 남은 $4-c$개의 B를 9자리에 중복조합으로 배치

$c=1$: $2\times {}_9{H}_3=2\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=2\times 165=330$

$c=2$: $6\times {}_9{H}_2=6\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=6\times 45=270$

$c=3$: $18\times {}_9{H}_1=18\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)=18\times 9=162$

$c=4$: $18\times {}_9{H}_0=18\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)=18\times 1=18$

step4. 총합 계산

$330+270+162+18=780$

$\therefore 780$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

노란색 공과 보라색 공이 이웃하지 않아야 한다는 조건을 처리할 때, 검은색 공을 먼저 배열하고 빈칸에 노란색과 보라색을 넣으려 하면, 한 빈칸에 두 색이 동시에 들어갈 수 없다는 조건 때문에 케이스 분류가 지나치게 많아져 계산 도중 길을 잃기 쉽습니다.

🔑 돌파구

발상을 전환하여, 문제가 되는 노란색 공과 보라색 공을 먼저 배열해 보세요. 두 색의 공이 만나는 '경계'에만 검은색 공을 의무적으로 끼워 넣는다고 생각하면, 경계의 개수(최대 4개)에 따라 케이스를 훨씬 단순하게 나눌 수 있습니다. 'A와 B가 이웃하지 않는다'는 조건에서 A와 B의 종류가 2가지 이상일 때는, A와 B를 먼저 배열하고 그 사이의 경계에 제3의 요소를 끼워 넣는 중복조합 아이디어를 떠올려 보세요.

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