(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

주머니에 1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 10개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 네 자연수의 곱이 5의 배수일 확률은? [3점] ① $\frac{2}{5}$ ② $\frac{7}{15}$ ③ $\frac{8}{15}$ ④ $\frac{3}{5}$ ⑤ $\frac{2}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 네 수의 곱이 특정 수의 배수가 될 확률을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 1부터 10까지의 자연수가 적힌 10개의 공
- 임의로 4개의 공을 동시에 꺼냄
- 꺼낸 4개의 공에 적힌 자연수의 곱이 5의 배수

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 적어도 하나의 5의 배수가 포함될 확률을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 10개의 공 중 4개를 꺼내는 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 네 수의 곱이 5의 배수가 되는 조건을 파악하고, 계산이 편리한 여사건을 설정합니다.

step3. 여사건의 경우의 수와 확률을 계산합니다.

step4. 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 빼서 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합: 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수 ${}_n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A)$라 할 때, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $P(A^c)=1-P(A)$

5. 구체적 풀이

확률 문제를 풀 때 '곱이 ~의 배수'라는 조건이 나오면 어떻게 접근해야 할지 고민이 되시죠? 선생님과 함께 차근차근 풀어보아요.

[키포인트] 네 수의 곱이 5의 배수가 되려면, 네 수 중 적어도 하나는 5의 배수여야 합니다. 이렇게 '적어도 하나'라는 의미가 숨어있을 때는 반대 경우인 여사건을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다!

step1. 먼저 전체 경우의 수를 구해봅시다.

10개의 공 중에서 순서에 상관없이 4개를 꺼내는 것이므로 조합을 사용합니다.

전체 경우의 수 = ${}_{10}{C}_4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$가지입니다.

step2. 이제 조건을 분석해 볼까요?

네 수의 곱이 5의 배수가 되려면 5, 10 중 적어도 하나가 포함되어야 합니다.

[함정경고] 여기서 5의 배수가 1개 포함될 때와 2개 포함될 때를 각각 나누어 구해서 더해도 답은 나오지만, 계산 과정이 길어져 실수하기 쉽습니다. 이럴 때는 반대 경우를 생각하는 것이 훨씬 안전합니다.

우리가 구하려는 사건의 반대(여사건)는 '꺼낸 4개의 공 중 5의 배수가 하나도 없는 경우'입니다.

step3. 여사건의 확률을 계산해봅시다.

1부터 10까지의 자연수 중 5의 배수는 5, 10으로 총 2개입니다.

그럼 5의 배수가 아닌 수는 10 - 2 = 8개겠죠?

이 8개의 공 중에서 4개를 꺼내는 경우의 수를 구하면 됩니다.

여사건의 경우의 수 = ${}_8{C}_4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$가지입니다.

따라서 여사건의 확률은 $\frac{70}{210}=\frac{1}{3}$이 됩니다.

step4. 마지막으로 우리가 진짜 구하고 싶었던 확률을 도출합니다.

전체 확률 1에서 여사건의 확률을 빼주면 됩니다.

$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

따라서 정답은 ⑤번 $\frac{2}{3}$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

${}_{10}{C}_4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$

step2. 여사건 설정

네 수의 곱이 5의 배수 $\iff$ 적어도 하나는 5의 배수 (5, 10)

여사건: 4개 모두 5의 배수가 아닌 수(8개)에서 뽑는 경우

step3. 여사건의 확률

${}_8{C}_4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$

$P(A^c)=\frac{70}{210}=\frac{1}{3}$

step4. 정답 도출

$P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\therefore ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

네 수의 곱이 5의 배수가 되는 경우를 직접 구하려고 하면, 5의 배수가 1개 포함될 때와 2개 포함될 때를 일일이 나누어 계산해야 하므로 번거롭고 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

'곱이 5의 배수'라는 말은 '적어도 하나의 5의 배수가 포함된다'는 뜻과 같습니다. 이럴 때는 반대 경우인 '5의 배수가 하나도 없는 경우(여사건)'를 전체에서 빼는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다. '적어도 ~' 또는 '곱이 ~의 배수' 조건은 여사건을 먼저 떠올려보세요!

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