(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (경우의 수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

두 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$, $Y=\{1,2,3\}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$ 중 $f(1)\times f(2)\ne 4$를 만족시키는 함수 $f$의 개수는? ① 189 ② 198 ③ 207 ④ 216 ⑤ 225

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건을 이용하여 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {1, 2, 3}
- f: X → Y
- $f(1)\times f(2)\ne 4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건을 이용하여 전체 경우의 수에서 반대되는 경우의 수를 빼는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $X$에서 $Y$로의 전체 함수의 개수를 구합니다.

step2. 조건의 여사건인 $f(1)\times f(2)=4$를 만족하는 경우의 수를 구합니다.

step3. 전체 함수의 개수에서 여사건의 개수를 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 개수: 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수의 개수는 $(n(Y){)}^{n(X)}$이다.

- 여사건의 경우의 수: 어떤 사건 $A$가 일어날 경우의 수는 (전체 경우의 수) - (사건 $A$가 일어나지 않을 경우의 수)이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $f(1)\times f(2)\ne 4$인 경우를 직접 구하려면 경우가 많으므로, 반대되는 경우인 $f(1)\times f(2)=4$인 경우를 전체에서 빼는 '여사건'을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step1. $X$에서 $Y$로의 전체 함수의 개수를 구합니다.

정의역 $X$의 원소 5개가 각각 공역 $Y$의 원소 3개 중 하나를 선택할 수 있으므로, 전체 함수의 개수는 $3^5=243$입니다.

step2. 조건의 여사건인 $f(1)\times f(2)=4$를 만족하는 경우의 수를 구합니다.

공역 $Y=\{1,2,3\}$의 원소 중 두 수를 곱하여 4가 되는 경우는 $2\times 2=4$뿐입니다.

[함정경고] $1\times 4=4$를 생각할 수 있지만, 공역 $Y$에는 4가 없으므로 $f(1)=1,f(2)=4$ 또는 $f(1)=4,f(2)=1$인 경우는 불가능하다는 점을 놓치기 쉽습니다.

따라서 $f(1)=2$이고 $f(2)=2$로 고정됩니다.

나머지 정의역의 원소 $3,4,5$는 각각 공역의 원소 3개 중 어느 것이든 선택할 수 있으므로, 이 경우의 수는 $3^3=27$입니다.

step3. 전체 함수의 개수에서 여사건의 개수를 빼서 정답을 도출합니다.

구하는 함수의 개수는 $243-27=216$입니다.

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 함수의 개수

$3^5=243$

step2. 여사건의 경우의 수

$f(1)\times f(2)=4$인 경우

$Y=\{1,2,3\}$이므로 $(f(1),f(2))=(2,2)$뿐임

나머지 원소 $3,4,5$의 함숫값 정하기: $3^3=27$

step3. 정답 도출

$243-27=216$

$\therefore 216$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$f(1)\times f(2)\ne 4$인 경우를 직접 구하려고 하면, 곱이 1, 2, 3, 6, 9가 되는 경우를 모두 나누어 계산해야 하므로 시간이 오래 걸리고 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

'$\ne$' 조건이 있을 때는 전체 경우의 수에서 '$=$'인 경우(여사건)를 빼는 방식으로 접근하세요. '적어도', '~가 아닌' 등의 표현이 나오면 여사건을 떠올리는 것이 좋습니다.

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