(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 이항정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $(x+4{)}^6(3x+2)$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [3점] ① 74 ② 78 ③ 82 ④ 86 ⑤ 90

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 곱으로 이루어진 전개식에서 특정 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: $(x+4{)}^6(3x+2)$
- 구해야 할 값: 전개식에서 $x^6$의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 전개식에서 특정 항의 계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 식을 분배법칙을 이용하여 두 개의 항으로 분리합니다.

step2. 각 항에서 $x^6$이 만들어지기 위해 $(x+4{)}^6$에서 필요한 차수를 파악합니다.

step3. 이항정리의 일반항을 이용하여 필요한 차수의 계수를 각각 구합니다.

step4. 구한 계수들을 원래 식에 대입하여 최종 $x^6$의 계수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ (단, $0\le r\le n$) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 곱으로 이루어진 식에서 특정 항의 계수를 구할 때는, 식을 전개하기 쉬운 형태로 분리한 후 각 부분에서 필요한 차수의 항만 골라내어 계산하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 식을 분배법칙을 이용하여 두 개의 항으로 분리합니다.

$(x+4{)}^6(3x+2)=3x(x+4{)}^6+2(x+4{)}^6$

step2. 각 항에서 $x^6$이 만들어지기 위해 $(x+4{)}^6$에서 필요한 차수를 파악합니다.

- 첫 번째 항 $3x(x+4{)}^6$에서 $x^6$이 되려면, 앞의 $3x$와 곱해져야 하므로 $(x+4{)}^6$의 전개식에서 $x^5$ 항이 필요합니다.

- 두 번째 항 $2(x+4{)}^6$에서 $x^6$이 되려면, 앞의 상수 $2$와 곱해져야 하므로 $(x+4{)}^6$의 전개식에서 $x^6$ 항이 필요합니다.

step3. 이항정리의 일반항을 이용하여 필요한 차수의 계수를 각각 구합니다.

$(x+4{)}^6$의 전개식에서 일반항은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)x^{6-r}{4}^r$ 입니다.

- $x^5$ 항의 계수: $6-r=5$에서 $r=1$이므로, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)\times 4^1=6\times 4=24$ 입니다.

- $x^6$ 항의 계수: $6-r=6$에서 $r=0$이므로, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right)\times 4^0=1\times 1=1$ 입니다.

step4. 구한 계수들을 원래 식에 대입하여 최종 $x^6$의 계수를 계산합니다.

- 첫 번째 항에서 나오는 $x^6$의 계수: $3\times 24=72$

- 두 번째 항에서 나오는 $x^6$의 계수: $2\times 1=2$

[함정경고] 여기서 $(x+4{)}^6$의 계수만 구하고 끝내는 것이 아니라, 앞에 곱해진 $3x$와 $2$의 계수까지 반드시 곱해주어야 합니다. 이를 놓치기 쉽습니다.

따라서 전체 $x^6$의 계수는 $72+2=74$ 입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 분리

$(x+4{)}^6(3x+2)=3x(x+4{)}^6+2(x+4{)}^6$

step2. 필요한 차수 파악

$x^6$ 항은 다음 두 경우에서 나옴:

1) $3x\times ((x+4{)}^6$의 $x^5$ 항$)$

2) $2\times ((x+4{)}^6$의 $x^6$ 항$)$

step3. 이항정리로 계수 계산

---($(x+4{)}^6$의 일반항: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r}\right)x^{6-r}{4}^r$)

$x^5$ 항의 계수 ($r=1$): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)\times 4^1=24$

$x^6$ 항의 계수 ($r=0$): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right)\times 4^0=1$

step4. 최종 계수 계산

$3\times 24+2\times 1=72+2=74$

$\therefore 74$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

다항식 전체를 한 번에 전개하려고 시도하다가 식이 너무 복잡해져서 계산 실수를 하거나 포기할 수 있습니다. 또한, $(x+4{)}^6$의 계수를 구한 후 앞에 있는 $3x$와 $2$를 곱하는 과정을 누락하여 오답을 낼 수 있습니다.

🔑 돌파구

다항식의 곱에서는 차수가 낮은 다항식을 기준으로 식을 분배하여 $3x(x+4{)}^6+2(x+4{)}^6$ 형태로 쪼개어 생각하세요. 각 부분에서 $x^6$을 만들기 위해 필요한 차수를 역산하여 이항정리로 해당 계수만 뽑아내면 계산이 훨씬 간단해집니다.

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