(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 조건부확률)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 15일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 조건부확률의 정의를 이해하고, 같은 것이 있는 순열을 이용하여 특정 조건을 만족하는 사건의 경우의 수를 정확히 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던짐
- 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수임 (조건)
- 다섯 개의 눈의 수의 합이 15임 (사건)
- 구하는 확률은 q/p 이며, p와 q는 서로소인 자연수임

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건부확률의 정의에 따라 분모와 분자에 해당하는 경우의 수를 각각 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건부확률의 정의에 따라 구하고자 하는 확률의 분모와 분자에 해당하는 사건을 정의합니다.

step2. 다섯 개의 주사위 눈의 곱이 홀수일 경우의 수(분모)를 구합니다.

step3. 다섯 개의 주사위 눈이 모두 홀수이면서 그 합이 15가 되는 경우의 수(분자)를 구합니다.

step4. 구한 경우의 수를 이용하여 확률을 계산하고, 기약분수로 나타내어 p+q의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 조건부확률: 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 확률은 $P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$ 입니다.

- 같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, ... 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!...}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

사건 A를 '다섯 개의 주사위 눈의 곱이 홀수인 사건', 사건 B를 '다섯 개의 주사위 눈의 합이 15인 사건'이라고 합시다.

우리가 구해야 할 확률은 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 조건부확률이므로 $P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$ 입니다.

[키포인트] '곱이 홀수'라는 조건은 '모든 수가 홀수'라는 강력한 제약 조건입니다. 따라서 주사위의 눈을 {1, 3, 5}로 제한하고 시작하는 것이 핵심입니다.

step1. 분모에 해당하는 $n(A)$ 구하기

다섯 개의 주사위 눈의 곱이 홀수가 되려면, 다섯 개의 주사위 눈이 모두 홀수여야 합니다.

주사위의 눈 중 홀수는 1, 3, 5의 3개입니다.

서로 다른 다섯 개의 주사위를 던지므로, 각 주사위마다 3가지의 경우가 있습니다.

따라서 $n(A)=3^5=243$ 입니다.

step2. 분자에 해당하는 $n(A\cap B)$ 구하기

사건 $A\cap B$는 다섯 개의 주사위 눈이 모두 홀수이면서 그 합이 15가 되는 사건입니다.

주사위의 눈이 1, 3, 5 중 하나이므로, 이들 5개의 합이 15가 되는 조합을 찾아야 합니다.

가능한 눈의 조합을 큰 수부터 나열해 보면 다음과 같습니다.

1) 5가 2개인 경우: 5 + 5 + 3 + 1 + 1 = 15

2) 5가 1개인 경우: 5 + 3 + 3 + 3 + 1 = 15

3) 5가 0개인 경우: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

[함정경고] 여기서 조합만 찾고 끝내면 안 됩니다. '서로 다른' 다섯 개의 주사위이므로, 찾은 숫자 조합을 주사위에 배열하는 경우의 수까지 반드시 계산해야 합니다.

이제 각 조합을 서로 다른 다섯 개의 주사위에 배열하는 경우의 수를 구합니다. (같은 것이 있는 순열 이용)

1) {5, 5, 3, 1, 1}을 배열하는 경우의 수: $\frac{5!}{2!\times 2!}=\frac{120}{4}=30$

2) {5, 3, 3, 3, 1}을 배열하는 경우의 수: $\frac{5!}{3!}=\frac{120}{6}=20$

3) {3, 3, 3, 3, 3}을 배열하는 경우의 수: $\frac{5!}{5!}=1$

따라서 $n(A\cap B)=30+20+1=51$ 입니다.

step3. 확률 계산 및 정답 도출

구하는 확률은 $\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{51}{243}$ 입니다.

분모와 분자를 3으로 약분하면 $\frac{17}{81}$ 이 됩니다.

이때 17과 81은 서로소이므로 $p=81$, $q=17$ 입니다.

따라서 $p+q=81+17=98$ 입니다.

[정답] 98

⚡ 실전용 풀이

step1. 분모 구하기

곱이 홀수 $\Rightarrow$ 모두 홀수   --- 1, 3, 5

$n(A)=3^5=243$

step2. 분자 구하기

모두 홀수이고 합이 15인 조합 찾기

- 5, 5, 3, 1, 1 $\Rightarrow$ $\frac{5!}{2!2!}=30$

- 5, 3, 3, 3, 1 $\Rightarrow$ $\frac{5!}{3!}=20$

- 3, 3, 3, 3, 3 $\Rightarrow$ $\frac{5!}{5!}=1$

$n(A\cap B)=30+20+1=51$

step3. 확률 계산

$P=\frac{51}{243}=\frac{17}{81}$

$p=81,q=17$   --- (서로소 확인)

$\therefore p+q=98$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주사위 눈의 합이 15가 되는 경우를 찾을 때, 짝수를 포함하여 생각하거나 중복조합을 잘못 적용하여 계산 실수를 할 가능성이 높습니다. 또한 조합을 찾은 후, '서로 다른 주사위'라는 조건을 간과하고 조합의 개수(3가지)만으로 계산하는 실수를 범할 수 있습니다.

🔑 돌파구

'곱이 홀수'라는 조건은 '모든 수가 홀수'라는 강력한 제약 조건임을 먼저 파악하고, 사용할 수 있는 숫자를 {1, 3, 5}로 제한하세요. 숫자가 제한되어 있으므로, 복잡한 수식보다는 합이 15가 되는 숫자 조합을 직접 찾은 뒤 '같은 것이 있는 순열'로 배열하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다. (팁: 조건부확률 문제에서는 분모의 조건을 먼저 확정 지으면 분자를 구하기가 훨씬 수월해집니다.)

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