2023년 6월 학평 (고1) 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

1. $i(1-i)$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) [2점] ① $-1-i$ ② $-1+i$ ③ $i$ ④ $1-i$ ⑤ $1+i$

1. 문제의 요지

이 문제는 허수단위 $i$의 성질($i^2=-1$)을 이용하여 복소수의 곱셈을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $i(1-i)$의 값을 구하라.
- $i=\sqrt{-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수의 분배법칙과 허수단위의 성질을 이용하여 식을 전개하고 간단히 하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 식을 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

step2. 허수단위 $i$의 성질인 $i^2=-1$을 대입하여 식을 간단히 정리합니다.

step3. 정리된 결과를 보기와 비교하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수의 분배법칙: 실수에서와 마찬가지로 복소수에서도 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립합니다. $a(b+c)=ab+ac$

- 허수단위의 성질: $i=\sqrt{-1}$ 이므로, 양변을 제곱하면 $i^2=-1$ 이 됩니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복소수의 곱셈은 실수와 마찬가지로 분배법칙을 사용하여 전개한 후, $i^2$이 나오면 $-1$로 바꾸어 계산하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 식을 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

$i(1-i)=i\times 1-i\times i=i-i^2$

step2. 허수단위 $i$의 성질을 적용합니다.

문제에서 $i=\sqrt{-1}$이라고 주어졌으므로, 이를 제곱하면 $i^2=-1$이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $i^2$을 $-1$로 바꿀 때, 앞의 마이너스 부호와 결합하여 부호가 어떻게 변하는지 주의해야 합니다. $-i^2$을 계산할 때 부호를 헷갈려 $-1$로 착각하기 쉬운 부분에서 실수가 없도록 괄호를 사용하여 대입하는 것이 좋습니다.

전개한 식에 $i^2=-1$을 대입하면,

$i-i^2=i-(-1)=i+1$

step3. 결과를 정리하여 정답을 도출합니다.

$i+1$은 덧셈의 교환법칙에 의해 $1+i$와 같습니다.

따라서 정답은 ⑤ $1+i$ 입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 전개

$i(1-i)=i-i^2$

step2. $i^2=-1$ 대입

$=i-(-1)$   --- ($i^2=-1$이므로)

$=i+1$

step3. 정답 도출

$=1+i$

$\therefore ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

복소수의 분배법칙을 적용하여 식을 전개하는 과정에서 $i\times i$를 $i^2$으로 올바르게 표현하지 못할 수 있습니다. $i^2=-1$이라는 허수단위의 기본 성질을 잊어버리거나, $-i^2$을 계산할 때 부호 처리를 잘못하여 $-1$로 착각할 수 있습니다.

🔑 돌파구

괄호 밖의 $i$를 괄호 안의 각 항에 하나씩 곱해주는 분배법칙을 차분히 적용하여 $i-i^2$을 만듭니다. $i^2$ 자리에 괄호를 치고 $(-1)$을 대입하는 습관을 들이면 부호 실수를 막을 수 있습니다. (예: $-(-1)=+1$)

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