2023년 6월 학평 (고1) 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. 이차함수 $y=x^2+5x+9$ 의 그래프와 직선 $y=x+k$ 가 만나지 않도록 하는 자연수 $k$ 의 개수는? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이차방정식의 판별식을 이용하여 파악할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차함수: $y=x^2+5x+9$
- 직선: $y=x+k$
- 두 그래프가 만나지 않음
- $k$는 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선의 교점의 개수를 이차방정식의 판별식을 이용하여 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차함수와 직선의 식을 연립하여 이차방정식을 세웁니다.

step2. 두 그래프가 만나지 않을 조건을 판별식을 이용하여 부등식으로 나타냅니다.

step3. 부등식을 만족하는 자연수 $k$의 개수를 구하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수와 직선의 위치 관계: 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$와 직선 $y=mx+n$의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$의 실근과 같다.

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 판별식 $D=b^2-4ac$ (또는 $D/4=(b/2{)}^2-ac$)의 부호에 따라 실근의 개수가 결정된다. $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 가지며, 이는 실근이 없음을 의미한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수의 그래프와 직선이 만나지 않는다는 것은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식이 실근을 갖지 않는다는 것을 의미합니다. 따라서 판별식 $D<0$을 이용해야 합니다.

step1. 이차함수와 직선의 식을 연립하여 이차방정식을 세웁니다.

$y=x^2+5x+9$ 와 $y=x+k$ 가 만나는 점의 $x$좌표를 구하기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.

$x^2+5x+9=x+k$

우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 다음과 같습니다.

$x^2+4x+9-k=0$

step2. 두 그래프가 만나지 않을 조건을 판별식을 이용하여 부등식으로 나타냅니다.

두 그래프가 만나지 않으려면 위에서 구한 이차방정식이 실근을 갖지 않아야 합니다.

따라서 이차방정식의 판별식을 $D$라고 할 때, $D<0$이어야 합니다.

$x$의 계수가 짝수(4)이므로 짝수 판별식 $\frac{D}{4}$를 사용하면 계산이 편리합니다.

$\frac{D}{4}=2^2-1·(9-k)<0$

$4-9+k<0$

$k-5<0$

$k<5$

step3. 부등식을 만족하는 자연수 $k$의 개수를 구하여 정답을 도출합니다.

$k<5$를 만족하는 자연수 $k$는 1, 2, 3, 4입니다.

[함정경고] 여기서 자연수 $k$의 개수를 구할 때, 0을 포함하거나 5를 포함하여 개수를 잘못 세지 않도록 주의해야 합니다. 자연수는 1부터 시작합니다.

따라서 자연수 $k$의 개수는 4개입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 연립방정식 세우기

$x^2+5x+9=x+k$

$x^2+4x+9-k=0$

step2. 판별식 적용

---(만나지 않으므로 $D<0$ 이용)

$D/4=2^2-(9-k)<0$

$4-9+k<0$

$k<5$

step3. 자연수 개수 구하기

자연수 $k=1,2,3,4$

$\therefore 4개$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이차함수와 직선이 만나지 않는다는 기하학적 조건을 대수적인 이차방정식의 근의 개수 문제로 전환하지 못해 막힐 수 있습니다. 또한 판별식을 세운 후 부등식을 풀고 나서, '자연수'라는 조건을 놓쳐 0이나 음수를 포함하거나 5를 포함하여 개수를 잘못 셀 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 그래프의 교점은 두 식을 연립한 방정식의 실근과 같으므로, '만나지 않는다'는 '연립방정식의 실근이 없다(판별식 $D<0$)'로 해석하여 접근하세요. 부등식의 해를 구한 후에는 문제에서 요구하는 수의 범위(자연수)를 다시 한번 확인하여 1부터 조건에 맞는 수까지만 정확히 세는 습관을 들이세요.

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