2023년 6월 학평 (고1) 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

$x=1-2i,y=1+2i$ 일 때, $x^{3}y+x{y}^3-x^2-y^2$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) [3점] ① -24 ② -22 ③ -20 ④ -18 ⑤ -16

1. 문제의 요지

이 문제는 켤레복소수의 합과 곱을 이용하여 주어진 식을 변형하고 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $x=1-2i$
- $y=1+2i$
- $i=\sqrt{-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 켤레복소수의 합과 곱을 구한 후, 주어진 식을 인수분해하여 대입하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $x$와 $y$의 합과 곱을 계산합니다.

step2. 주어진 식을 공통인수로 묶어 인수분해합니다.

step3. 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x^2+y^2$의 값을 구합니다.

step4. 구한 값들을 인수분해된 식에 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 켤레복소수의 합과 곱: 두 복소수 $a+bi$와 $a-bi$의 합은 $2a$, 곱은 $a^2+b^2$이다.

- 인수분해: 다항식의 각 항에 공통으로 들어 있는 인수를 묶어내어 식을 간단히 한다.

- 곱셈 공식의 변형: $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

5. 구체적 풀이

[키포인트] $x$와 $y$가 켤레복소수 관계일 때는 각각을 직접 대입하기보다, 두 수의 합과 곱을 먼저 구한 뒤 식을 변형하여 대입하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

step1. $x$와 $y$의 합과 곱을 계산합니다.

$x=1-2i$, $y=1+2i$이므로

$x+y=(1-2i)+(1+2i)=2$

$xy=(1-2i)(1+2i)=1^2-(2i{)}^2=1-(-4)=5$

step2. 주어진 식을 공통인수로 묶어 인수분해합니다.

$x^{3}y+x{y}^3-x^2-y^2$

앞의 두 항을 $xy$로 묶고, 뒤의 두 항을 $-1$로 묶으면

$=xy(x^2+y^2)-(x^2+y^2)$

공통인수 $(x^2+y^2)$로 다시 묶으면

$=(xy-1)(x^2+y^2)$

step3. 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x^2+y^2$의 값을 구합니다.

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

앞서 구한 $x+y=2$, $xy=5$를 대입하면

$x^2+y^2=2^2-2\times 5=4-10=-6$

step4. 구한 값들을 인수분해된 식에 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

$(xy-1)(x^2+y^2)=(5-1)\times (-6)=4\times (-6)=-24$

[함정경고] 주어진 식에 $x$와 $y$를 처음부터 직접 대입하여 계산하려고 하면, 세제곱 계산 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다. 반드시 식을 먼저 간단히 변형한 후 대입하세요.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 합과 곱 계산

$x+y=(1-2i)+(1+2i)=2$

$xy=(1-2i)(1+2i)=1+4=5$

step2. 식 인수분해

$x^{3}y+x{y}^3-x^2-y^2$

$=xy(x^2+y^2)-(x^2+y^2)$

$=(xy-1)(x^2+y^2)$

step3. $x^2+y^2$ 계산

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$   --- (곱셈 공식의 변형 이용)

$=2^2-2(5)=-6$

step4. 대입하여 정답 도출

$(xy-1)(x^2+y^2)=(5-1)(-6)=-24$

$\therefore ①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주어진 식에 $x=1-2i$와 $y=1+2i$를 직접 대입하여 세제곱을 계산하려다 복잡한 연산 과정에서 부호나 $i^2=-1$ 처리에 실수를 범해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$x$와 $y$가 켤레복소수 관계임을 파악하고, 두 수의 합($x+y$)과 곱($xy$)을 먼저 구하세요. 그 후 주어진 식을 인수분해하고 곱셈 공식의 변형을 활용하여 식의 값을 계산하면 복잡한 연산을 피할 수 있습니다. (팁: 켤레복소수가 주어지면 항상 합과 곱을 먼저 구하는 습관을 들이세요.)

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