2023년 6월 학평 (고1) 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{2022\times ({2023}^2+2024)}{2024\times 2023+1}$의 값은? ① 2018 ② 2020 ③ 2022 ④ 2024 ⑤ 2026

1. 문제의 요지

이 문제는 복잡한 수의 계산을 문자로 치환하여 다항식의 연산 및 인수분해를 통해 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 수식: $\frac{2022\times ({2023}^2+2024)}{2024\times 2023+1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 복잡한 수식을 문자로 치환하여 다항식의 연산을 활용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 계산을 간단히 하기 위해 기준이 되는 수를 문자로 치환합니다.

step2. 치환한 문자를 사용하여 주어진 식의 분자와 분모를 각각 다항식으로 표현합니다.

step3. 다항식을 전개하고 약분하여 식을 간단히 합니다.

step4. 간단해진 식에 원래의 수를 대입하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환: 복잡한 식이나 수를 하나의 문자로 바꾸어 식의 구조를 파악하기 쉽게 만드는 방법

- 다항식의 전개: 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 풀어내는 과정

5. 구체적 풀이

step1. 식에 등장하는 수들이 2023과 가까우므로, $2023$을 $x$로 치환합니다.

step2. 그러면 $2022=x-1$, $2024=x+1$로 나타낼 수 있습니다. 이를 주어진 식에 대입하면 다음과 같습니다.

분자: $(x-1)(x^2+x+1)$

분모: $(x+1)x+1=x^2+x+1$

step3. 주어진 식을 다시 쓰면 $\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}$ 이 됩니다.

[키포인트] 분자와 분모에 공통으로 있는 식 $(x^2+x+1)$을 약분하여 식을 간단히 만드는 것이 이 문제의 핵심입니다.

[함정경고] 숫자를 직접 곱하고 더해서 계산하려고 하면 시간이 오래 걸리고 계산 실수가 발생하기 쉬우므로, 반드시 문자로 치환하여 식의 구조를 파악해야 합니다.

step4. 분모와 분자를 약분하면 식은 $x-1$이 됩니다.

여기에 다시 $x=2023$을 대입하면 $2023-1=2022$가 됩니다.

따라서 정답은 2022입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환

$2023=x$ 라 하면

$2022=x-1$, $2024=x+1$

step2. 식 대입 및 정리

$($주어진 식$)=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)x+1}$

step3. 약분

$=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}$   --- (분모를 전개하여 정리)

$=x-1$

step4. 값 계산

$=2023-1=2022$

$\therefore 2022$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

숫자가 너무 커서 직접 계산하려고 시도하다가 계산 실수로 막히거나, 어떤 수를 문자로 치환해야 할지 기준을 잡지 못해 식을 간단히 정리하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

식에서 가장 중심이 되거나 많이 등장하는 수(여기서는 2023)를 $x$로 치환해 보세요. 그러면 주변의 수들을 $x-1$, $x+1$로 표현할 수 있어 다항식의 약분 구조가 명확히 보입니다. 비슷한 문제에서도 연속된 수들이 나오면 가운데 수를 문자로 두는 것이 유리합니다.

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