2023년 6월 학평 (고1) 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (복소수와 이차방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

10. $x$에 대한 이차방정식 $2x^2+ax+b=0$의 한 근이 $2-i$일 때, $b-a$의 값은? (단, $a,b$는 실수이고, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) [3점] ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20

1. 문제의 요지

이 문제는 실수 계수를 갖는 이차방정식의 켤레근의 성질을 이용하여 미정계수를 구하고 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식: $2x^2+ax+b=0$
- 한 근: $x=2-i$
- $a,b$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 실수 계수 이차방정식의 켤레근 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 실수 계수 조건에 의해 다른 한 근이 켤레복소수임을 파악합니다.

step2. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합으로부터 $a$의 값을 구합니다.

step3. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 곱으로부터 $b$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a,b$의 값을 이용하여 $b-a$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 켤레근의 성질: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 계수 $a,b,c$가 모두 실수일 때, 한 근이 $p+qi$ ($p,q$는 실수, $q\ne 0$)이면 다른 한 근은 $p-qi$이다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식의 계수가 모두 실수일 때, 한 허수 근이 주어지면 다른 한 근은 자동으로 그 켤레복소수가 된다는 점을 떠올려야 합니다.

step1. 실수 계수 조건에 의해 다른 한 근이 켤레복소수임을 파악합니다.

주어진 이차방정식 $2x^2+ax+b=0$에서 계수 $2,a,b$는 모두 실수입니다.

실수 계수를 갖는 이차방정식의 한 근이 $2-i$이므로, 켤레근의 성질에 의해 다른 한 근은 $2+i$가 됩니다.

step2. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합으로부터 $a$의 값을 구합니다.

두 근이 $2-i$와 $2+i$이므로, 두 근의 합을 구하면 다음과 같습니다.

$(2-i)+(2+i)=4$

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $-\frac{a}{2}$이므로,

$-\frac{a}{2}=4$

따라서 $a=-8$입니다.

step3. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 곱으로부터 $b$의 값을 구합니다.

두 근의 곱을 구하면 다음과 같습니다.

$(2-i)(2+i)=2^2-i^2=4-(-1)=5$

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $\frac{b}{2}$이므로,

$\frac{b}{2}=5$

따라서 $b=10$입니다.

step4. 구한 $a,b$의 값을 이용하여 $b-a$의 값을 계산합니다.

$b-a=10-(-8)=18$

[함정경고] $b-a$를 계산할 때 부호에 주의해야 합니다. $a$가 음수이므로 뺄셈 시 덧셈으로 바뀌는 것을 놓치기 쉽습니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 켤레근 파악

계수 $2,a,b$가 실수이므로 다른 한 근은 $2+i$

step2. 두 근의 합

$(2-i)+(2+i)=4$

$-\frac{a}{2}=4$   --- (근과 계수의 관계 이용)

$\therefore a=-8$

step3. 두 근의 곱

$(2-i)(2+i)=4-i^2=5$

$\frac{b}{2}=5$   --- (근과 계수의 관계 이용)

$\therefore b=10$

step4. 정답 도출

$b-a=10-(-8)=18$

$\therefore ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 계수가 실수라는 조건을 간과하여 다른 한 근이 켤레복소수임을 떠올리지 못해 막힐 수 있습니다. 근과 계수의 관계를 적용할 때, 최고차항의 계수가 $2$인 것을 잊고 두 근의 합을 $-a$, 두 근의 곱을 $b$로 잘못 계산하는 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

문제에 '$a,b$는 실수'라는 조건이 있으면 켤레근을 사용할 수 있다는 강력한 힌트이므로, 즉시 다른 한 근을 $2+i$로 설정합니다. 근과 계수의 관계 공식을 적용할 때 항상 최고차항의 계수로 나누어주는 것을 잊지 않도록 식을 꼼꼼히 세웁니다. (두 근의 합 $=-\frac{x\text{의 계수}}{x^2\text{의 계수}}$)

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