2023년 6월 학평 (고1) 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지 정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

13. $x$에 대한 다항식 $x^5+a{x}^2+(a+1)x+2$를 $x-1$로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$이고 나머지는 6이다. $a+Q(2)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점] ① 33 ② 35 ③ 37 ④ 39 ⑤ 41

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지 정리를 이용하여 미정계수를 구하고, 항등식의 성질을 이용하여 몫의 함숫값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $P(x)=x^5+a{x}^2+(a+1)x+2$
- $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$, 나머지는 6

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지 정리와 항등식의 수치대입법을 이용하여 미정계수와 몫의 함숫값을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 나머지 정리를 이용하여 미정계수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 다항식의 나눗셈에 대한 항등식을 세우고, $x=2$를 대입하여 $Q(2)$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $Q(2)$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지 정리: 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지는 $P(\alpha )$와 같다.

- 항등식의 성질: 다항식의 나눗셈 $A=BQ+R$은 $x$에 대한 항등식이므로, 임의의 $x$값을 대입해도 항상 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈 문제는 $A=BQ+R$ 형태의 항등식을 세우는 것이 모든 풀이의 시작입니다.

step1. 나머지 정리를 이용하여 미정계수 $a$의 값을 구합니다.

다항식을 $P(x)=x^5+a{x}^2+(a+1)x+2$라 합시다.

$P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 6이므로, 나머지 정리에 의해 $P(1)=6$이 성립합니다.

$P(1)=1^5+a·1^2+(a+1)·1+2=1+a+a+1+2=2a+4$

따라서 $2a+4=6$이므로, $2a=2$에서 $a=1$입니다.

step2. 다항식의 나눗셈에 대한 항등식을 세우고, $x=2$를 대입하여 $Q(2)$의 값을 구합니다.

$P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 몫이 $Q(x)$, 나머지가 6이므로 다음과 같은 항등식을 세울 수 있습니다.

$P(x)=(x-1)Q(x)+6$

[함정경고] 여기서 $Q(x)$를 직접 구하기 위해 조립제법이나 직접 나눗셈을 시도하면 계산이 복잡해지고 실수할 수 있습니다. $Q(2)$의 값만 필요하므로 항등식에 $x=2$를 대입하는 것이 훨씬 효율적입니다.

위 항등식의 양변에 $x=2$를 대입하면,

$P(2)=(2-1)Q(2)+6=Q(2)+6$이 됩니다.

한편, $a=1$이므로 $P(x)=x^5+x^2+2x+2$입니다.

여기에 $x=2$를 대입하여 $P(2)$의 값을 계산하면,

$P(2)=2^5+1·2^2+2·2+2=32+4+4+2=42$입니다.

따라서 $42=Q(2)+6$이므로, $Q(2)=36$입니다.

step3. 구한 $a$와 $Q(2)$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a+Q(2)=1+36=37$입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. a 구하기

$P(x)=x^5+a{x}^2+(a+1)x+2$

$P(1)=6$   --- (나머지 정리)

$1+a+a+1+2=6$

$2a+4=6⟹a=1$

step2. Q(2) 구하기

$P(x)=(x-1)Q(x)+6$   --- (나눗셈 항등식)

$P(2)=1·Q(2)+6$   --- (x=2 대입)

$P(2)=2^5+1·2^2+2·2+2=32+4+4+2=42$

$42=Q(2)+6⟹Q(2)=36$

step3. 정답 도출

$\therefore a+Q(2)=1+36=37$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

다항식 $Q(x)$를 구하기 위해 조립제법이나 직접 나눗셈을 시도하다가 계산 실수를 하거나 시간을 낭비할 수 있습니다. 또한, 나머지 정리를 적용하여 $a$를 구하는 것은 알지만, $Q(2)$를 구하기 위해 항등식 $P(x)=(x-1)Q(x)+6$을 세우고 수치대입법을 활용하는 아이디어를 떠올리지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

다항식의 나눗셈 문제는 항상 $A=BQ+R$ 형태의 항등식을 먼저 작성하세요. 특정 $x$값에 대한 몫의 함숫값(예: $Q(2)$)을 물어볼 때는, 몫을 직접 구하기보다 항등식에 그 $x$값을 대입하여 수치대입법으로 푸는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기