2023년 6월 학평 (고1) 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수와 로그 / 실생활 응용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

14. 분자 사이에 인력이나 반발력이 작용하지 않고 분자의 크기를 무시할 수 있는 가상의 기체를 이상 기체라 한다. 강철 용기에 들어 있는 이상 기체의 부피를 $V(L)$, 몰수를 $n(mol)$, 절대 온도를 $T(K)$, 압력을 $P(atm)$ 이라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다. $V=R(\frac{nT}{P})$ (단, $R$는 기체 상수이다.) 강철 용기 $A$와 강철 용기 $B$에 부피가 각각 $V_A$, $V_B$인 이상 기체가 들어 있다. 강철 용기 $A$에 담긴 이상 기체의 몰수는 강철 용기 $B$에 담긴 이상 기체의 몰수의 $\frac{1}{4}$배이고, 강철 용기 $A$에 담긴 이상 기체의 압력은 강철 용기 $B$에 담긴 이상 기체의 압력의 $\frac{3}{2}$배이다. 강철 용기 $A$와 강철 용기 $B$에 담긴 이상 기체의 절대 온도가 같을 때, $\frac{V_A}{V_B}$의 값은? [4점] ① $\frac{1}{6}$ ② $\frac{1}{3}$ ③ $\frac{1}{2}$ ④ $\frac{2}{3}$ ⑤ $\frac{5}{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 관계식에 각 변수의 조건을 대입하여 두 식의 비율을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 관계식: $V=R(\frac{nT}{P})$
- $n_A=\frac{1}{4}{n}_B$
- $P_A=\frac{3}{2}{P}_B$
- $T_A=T_B$

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 관계식에 비례 조건을 대입하여 비율을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 용기 A와 B에 대한 이상 기체 상태 방정식을 각각 세웁니다.

step2. 문제에서 주어진 몰수, 압력, 온도의 비율 조건을 정리합니다.

step3. 두 식을 나누어 $\frac{V_A}{V_B}$를 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 비례식의 대입: 주어진 변수 간의 배수 관계를 하나의 문자로 통일하거나 비율 자체로 대입하여 식을 간단히 하는 방법

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 문자가 많을 때는 두 식을 나누어 공통 문자를 약분하고, 주어진 비율만 대입하는 것이 핵심입니다.

step1. 용기 A와 B에 대한 이상 기체 상태 방정식을 각각 세웁니다.

용기 A의 부피: $V_A=R(\frac{n_A{T}_A}{P_A})$

용기 B의 부피: $V_B=R(\frac{n_B{T}_B}{P_B})$

step2. 문제에서 주어진 몰수, 압력, 온도의 비율 조건을 정리합니다.

몰수 조건: $n_A=\frac{1}{4}{n}_B$ 이므로 $\frac{n_A}{n_B}=\frac{1}{4}$ 입니다.

압력 조건: $P_A=\frac{3}{2}{P}_B$ 이므로 $\frac{P_B}{P_A}=\frac{2}{3}$ 입니다.

[함정경고] 압력의 비를 대입할 때, $P_A$가 분모에 있으므로 역수를 취해야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

온도 조건: $T_A=T_B$ 이므로 $\frac{T_A}{T_B}=1$ 입니다.

step3. 두 식을 나누어 $\frac{V_A}{V_B}$를 계산하고 정답을 도출합니다.

$\frac{V_A}{V_B}=\frac{R(\frac{n_A{T}_A}{P_A})}{R(\frac{n_B{T}_B}{P_B})}$

공통 상수인 $R$을 약분하고 식을 정리하면,

$\frac{V_A}{V_B}=\frac{n_A}{n_B}\times \frac{T_A}{T_B}\times \frac{P_B}{P_A}$ 가 됩니다.

여기에 step2에서 구한 비율을 대입하면,

$\frac{V_A}{V_B}=\frac{1}{4}\times 1\times \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$ 입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 관계식 세우기

$V_A=R(\frac{n_A{T}_A}{P_A})$

$V_B=R(\frac{n_B{T}_B}{P_B})$

step2. 조건 정리

$n_A=\frac{1}{4}{n}_B⟹\frac{n_A}{n_B}=\frac{1}{4}$

$P_A=\frac{3}{2}{P}_B⟹\frac{P_B}{P_A}=\frac{2}{3}$

$T_A=T_B⟹\frac{T_A}{T_B}=1$

step3. 비율 계산

$\frac{V_A}{V_B}=\frac{R(\frac{n_A{T}_A}{P_A})}{R(\frac{n_B{T}_B}{P_B})}$

$=\frac{n_A}{n_B}\times \frac{T_A}{T_B}\times \frac{P_B}{P_A}$   --- (공통 상수 R 약분 및 식 정리)

$=\frac{1}{4}\times 1\times \frac{2}{3}$

$=\frac{1}{6}$

$\therefore 정답:①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

문자가 여러 개 등장하여 각각의 값을 구하려고 시도하다가 막힐 수 있습니다. 또한, $P_A=\frac{3}{2}{P}_B$ 조건을 분수식에 대입할 때 분모와 분자의 위치를 헷갈려 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

각 변수의 정확한 값을 구하는 것이 아니라, 두 식을 통째로 나누어 비율($\frac{n_A}{n_B}$, $\frac{P_B}{P_A}$)을 대입하는 방식을 사용하세요. 분수 형태의 식을 나눌 때는 역수를 곱하는 것으로 바꾸어 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다. (팁: 비례 관계 문제에서는 두 식을 나누어 공통 상수를 소거하는 것이 기본입니다.)

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