2023년 6월 학평 (고1) 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차방정식과 이차함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 이차함수 $y=a{x}^2(a>0)$의 그래프와 직선 $y=x+6$이 만나는 두 점 $A,B$의 $x$좌표를 각각 $\alpha ,\beta$라 하자. 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $A$에서 선분 $BH$에 내린 수선의 발을 $C$라 하자. $\overline{BC}=\frac{7}{2}$ 일 때, ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값은? (단, $\alpha <\beta$) ① $\frac{23}{4}$ ② $\frac{25}{4}$ ③ $\frac{27}{4}$ ④ $\frac{29}{4}$ ⑤ $\frac{31}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선의 교점의 좌표를 설정하고, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차함수 $y=a{x}^2(a>0)$
- 직선 $y=x+6$
- 두 그래프의 교점 $A,B$의 $x$좌표는 각각 $\alpha ,\beta$ ($\alpha <\beta$)
- 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발 $H$
- 점 $A$에서 선분 $BH$에 내린 수선의 발 $C$
- $\overline{BC}=\frac{7}{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 교점의 좌표를 설정하여 선분의 길이를 식으로 나타내고, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 $A,B,C$의 좌표를 설정하여 선분 $BC$의 길이를 $\alpha ,\beta$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 $\alpha +\beta$와 $\alpha \beta$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 곱셈공식의 변형을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a$의 값을 바탕으로 ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

- 곱셈공식의 변형: $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$, ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 교점 $A,B$가 직선 $y=x+6$ 위에 있다는 사실을 이용하면 $y$좌표를 1차식으로 간단히 표현할 수 있습니다.

step1. 점 $A,B$는 직선 $y=x+6$ 위의 점이므로 좌표를 각각 $A(\alpha ,\alpha +6)$, $B(\beta ,\beta +6)$으로 놓을 수 있습니다.

점 $C$는 점 $A$에서 선분 $BH$에 내린 수선의 발이므로, $C$의 $x$좌표는 $B$와 같고 $y$좌표는 $A$와 같습니다. 즉, $C(\beta ,\alpha +6)$입니다.

따라서 선분 $BC$의 길이는 $B$의 $y$좌표에서 $C$의 $y$좌표를 뺀 값입니다.

$\overline{BC}=(\beta +6)-(\alpha +6)=\beta -\alpha$

조건에서 $\overline{BC}=\frac{7}{2}$이므로, $\beta -\alpha =\frac{7}{2}$ 입니다.

step2. $\alpha ,\beta$는 이차함수 $y=a{x}^2$과 직선 $y=x+6$의 교점의 $x$좌표이므로, 이차방정식 $a{x}^2=x+6$, 즉 $a{x}^2-x-6=0$의 두 근입니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

$\alpha +\beta =\frac{1}{a}$

$\alpha \beta =-\frac{6}{a}$

step3. 곱셈공식의 변형** $(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ 에 위에서 구한 식들을 대입합니다.

$(\frac{7}{2}{)}^2=(\frac{1}{a}{)}^2-4(-\frac{6}{a})$

$\frac{49}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{24}{a}$

양변에 $4a^2$을 곱하여 정리합니다.

$49a^2=4+96a$

$49a^2-96a-4=0$

$(49a+2)(a-2)=0$

조건에서 $a>0$이므로 $a=2$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $a$에 대한 이차방정식을 풀 때 계산 실수가 잦습니다. 양변에 $4a^2$을 곱할 때 모든 항에 빠짐없이 곱해졌는지 확인해야 합니다.

step4. $a=2$를 근과 계수의 관계 식에 대입하면,

$\alpha +\beta =\frac{1}{2}$

$\alpha \beta =-3$

이제 구하고자 하는 ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값을 곱셈공식의 변형을 이용하여 계산합니다.

${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

$=(\frac{1}{2}{)}^2-2(-3)$

$=\frac{1}{4}+6=\frac{25}{4}$

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 좌표 설정 및 선분 길이

$A(\alpha ,\alpha +6),B(\beta ,\beta +6)$

$C(\beta ,\alpha +6)$

$\overline{BC}=(\beta +6)-(\alpha +6)=\beta -\alpha =\frac{7}{2}$

step2. 근과 계수의 관계

$a{x}^2-x-6=0$ 의 두 근이 $\alpha ,\beta$이므로

$\alpha +\beta =\frac{1}{a}$

$\alpha \beta =-\frac{6}{a}$

step3. a값 계산

$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$   --- (곱셈공식 변형 이용)

$(\frac{7}{2}{)}^2=(\frac{1}{a}{)}^2-4(-\frac{6}{a})$

$\frac{49}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{24}{a}$

$49a^2-96a-4=0$

$(49a+2)(a-2)=0$

$a=2(\because a>0)$

step4. 정답 도출

$\alpha +\beta =\frac{1}{2},\alpha \beta =-3$

${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

$=(\frac{1}{2}{)}^2-2(-3)=\frac{25}{4}$

$\therefore 정답②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 점 $A,B$의 $y$좌표를 이차함수 식인 $a{\alpha }^2,a{\beta }^2$으로 설정하여 $\overline{BC}=a{\beta }^2-a{\alpha }^2$으로 표현한 뒤, 식을 전개하는 과정에서 복잡함을 느끼고 막힐 가능성이 높습니다. 또한, $\beta -\alpha$의 값을 구한 후 근과 계수의 관계와 곱셈공식의 변형을 연결하지 못해 $a$의 값을 구하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

교점이 직선 $y=x+6$ 위에도 있다는 점을 활용하여 $y$좌표를 1차식인 $\alpha +6,\beta +6$으로 설정하면 $\overline{BC}$의 길이를 $\beta -\alpha$로 훨씬 간단하게 나타낼 수 있습니다. 이후에는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 통해 얻은 합과 곱을 곱셈공식의 변형에 대입하여 미지수 $a$에 대한 방정식을 세우는 것이 핵심입니다. 교점 문제는 항상 차수가 낮은 식을 활용하는 것이 유리합니다.

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