2023년 6월 학평 (고1) 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산, 이차방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 선분 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC가 있다. 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 할 때, $\overline{CH}=1$이고 삼각형 ABC의 넓이는 $\frac{4}{3}$이다. $\overline{BH}=x$라 할 때, $3x^3-5x^2+4x+7$의 값은? (단, $x<1$) [4점] ① $13-3\sqrt{7}$ ② $14-3\sqrt{7}$ ③ $15-3\sqrt{7}$ ④ $16-3\sqrt{7}$ ⑤ $17-3\sqrt{7}$

1. 문제의 요지

이 문제는 직각삼각형의 닮음 성질과 넓이 공식을 이용하여 $x$에 대한 이차방정식을 세우고, 이를 통해 주어진 다항식의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼각형 ABC는 $\angle C={90}^{\circ }$인 직각삼각형
- $\overline{CH}⟂\overline{AB}$
- $\overline{CH}=1$
- $△ABC$의 넓이 = $\frac{4}{3}$
- $\overline{BH}=x$
- $x<1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 직각삼각형의 넓이와 닮음 성질을 이용하여 $x$에 대한 이차방정식을 세우고, 다항식의 나눗셈을 통해 식의 값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 빗변 $\overline{AB}$의 길이를 구합니다.

step2. 직각삼각형의 닮음 성질을 이용하여 $x$에 대한 이차방정식을 세웁니다.

step3. 근의 공식을 이용하여 조건에 맞는 $x$의 값을 구합니다.

step4. 구한 이차방정식을 이용하여 주어진 3차 다항식의 차수를 낮추어 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각형의 넓이 공식: 밑변이 $a$, 높이가 $h$인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}ah$ 이다.

- 직각삼각형의 닮음 성질: 직각삼각형 ABC에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라 할 때, ${\overline{CH}}^2=\overline{AH}\times \overline{BH}$ 가 성립한다.

- 다항식의 나눗셈: 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$ 로 나타낼 수 있다. 이때 $B=0$이면 $A=R$이 되어 식의 값을 쉽게 구할 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 직각삼각형에서 수선을 내렸을 때 성립하는 닮음 공식 ${\overline{CH}}^2=\overline{AH}\times \overline{BH}$를 떠올리는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 빗변 $\overline{AB}$의 길이를 구합니다.

삼각형 ABC의 넓이가 $\frac{4}{3}$이고, 밑변을 $\overline{AB}$, 높이를 $\overline{CH}$로 볼 수 있습니다.

$△ABC=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{CH}=\frac{4}{3}$

$\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times 1=\frac{4}{3}$

$\overline{AB}=\frac{8}{3}$

step2. 직각삼각형의 닮음 성질을 이용하여 $x$에 대한 이차방정식을 세웁니다.

$\overline{AB}=\overline{AH}+\overline{BH}$ 이므로, $\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{BH}=\frac{8}{3}-x$ 입니다.

직각삼각형의 닮음 성질에 의해 ${\overline{CH}}^2=\overline{AH}\times \overline{BH}$ 가 성립합니다.

$1^2=(\frac{8}{3}-x)\times x$

$1=\frac{8}{3}x-x^2$

$x^2-\frac{8}{3}x+1=0$

양변에 3을 곱하여 정리하면,

$3x^2-8x+3=0$ 입니다.

step3. 근의 공식을 이용하여 조건에 맞는 $x$의 값을 구합니다.

이차방정식 $3x^2-8x+3=0$ 에서 짝수 근의 공식을 사용하면,

$x=\frac{4\pm \sqrt{4^2-3\times 3}}{3}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$

[함정경고] 여기서 두 근 중 어떤 것이 문제의 조건에 맞는지 반드시 확인해야 합니다. $x<1$ 이라는 조건을 놓치기 쉽습니다.

$\sqrt{7}$은 $2<\sqrt{7}<3$ 이므로,

$\frac{4+\sqrt{7}}{3}>\frac{4+2}{3}=2>1$ 이고,

$\frac{4-\sqrt{7}}{3}<\frac{4-2}{3}=\frac{2}{3}<1$ 입니다.

따라서 조건 $x<1$ 에 의해 $x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$ 입니다.

step4. 구한 이차방정식을 이용하여 주어진 3차 다항식의 차수를 낮추어 값을 계산합니다.

구하고자 하는 식은 $3x^3-5x^2+4x+7$ 입니다.

$3x^2-8x+3=0$ 임을 이용하여 식을 변형합니다.

$3x^3-5x^2+4x+7=x(3x^2-8x+3)+8x^2-3x-5x^2+4x+7$

$=x(0)+3x^2+x+7$

$=3x^2+x+7$

다시 $3x^2=8x-3$ 을 대입하여 차수를 1차로 낮춥니다.

$=(8x-3)+x+7=9x+4$

이제 $x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$ 을 대입합니다.

$9x+4=9\times (\frac{4-\sqrt{7}}{3})+4$

$=3(4-\sqrt{7})+4$

$=12-3\sqrt{7}+4$

$=16-3\sqrt{7}$

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. AB 길이 구하기

$△ABC=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times 1=\frac{4}{3}$

$\overline{AB}=\frac{8}{3}$

step2. 이차방정식 세우기

$\overline{AH}=\frac{8}{3}-x$

$1^2=(\frac{8}{3}-x)x$   --- (직각삼각형 닮음 성질 ${\overline{CH}}^2=\overline{AH}\times \overline{BH}$ 이용)

$x^2-\frac{8}{3}x+1=0$

$3x^2-8x+3=0$

step3. x 값 구하기

$x=\frac{4\pm \sqrt{16-9}}{3}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$

$x<1$ 이므로 $x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$

step4. 식의 값 계산

$3x^3-5x^2+4x+7$

$=x(3x^2-8x+3)+3x^2+x+7$   --- (차수 낮추기)

$=3x^2+x+7$

$=(8x-3)+x+7$   --- ($3x^2=8x-3$ 대입)

$=9x+4$

$=9(\frac{4-\sqrt{7}}{3})+4$

$=3(4-\sqrt{7})+4$

$=16-3\sqrt{7}$

$\therefore 정답은④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

1. 직각삼각형에서 수선을 내렸을 때 성립하는 닮음 공식(${\overline{CH}}^2=\overline{AH}\times \overline{BH}$)을 떠올리지 못해 $x$에 대한 식을 세우지 못할 수 있습니다. 2. $x$의 값을 구한 후, 3차 다항식에 직접 대입하려고 하면 계산이 매우 복잡해져서 실수가 발생하거나 시간이 오래 걸릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

1. 직각삼각형의 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내린 그림을 보면, 즉시 소공식 등 직각삼각형의 닮음 성질들을 떠올려야 합니다. 2. 다항식의 값을 구할 때, 이차방정식($3x^2-8x+3=0$)을 이용하여 주어진 다항식을 나누어 차수를 낮추는 방법(식의 변형)을 사용하면 계산을 훨씬 간단하게 할 수 있습니다. '차수 낮추기'는 고차식의 값을 구할 때 매우 유용한 팁입니다.

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