2023년 6월 학평 (고1) 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

18. 다음은 자연수 n에 대하여 x에 대한 사차방정식 $4x^4-4(n+2)x^2+(n-2{)}^2=0$ 이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 20 이하의 모든 n의 값을 구하는 과정이다. $P(x)=4x^4-4(n+2)x^2+(n-2{)}^2$이라 하자. $x^2=X$라 하면 주어진 방정식 $P(x)=0$은 $4X^2-4(n+2)X+(n-2{)}^2=0$이고 근의 공식에 의해 $X=\frac{n+2\pm \sqrt{(가)}}{2}$ 이다. 그러므로 $X=(\sqrt{\frac{n}{2}+1}{)}^2$ 또는 $X=(\sqrt{\frac{n}{2}-1}{)}^2$ 에서 $x=\sqrt{\frac{n}{2}+1}$ 또는 $x=-\sqrt{\frac{n}{2}-1}$ 또는 $x=\sqrt{\frac{n}{2}-1}$ 또는 $x=-\sqrt{\frac{n}{2}+1}$이다. 방정식 $P(x)=0$이 정수해를 갖기 위해서는 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 이 자연수가 되어야 한다. 따라서 자연수 n에 대하여 방정식 $P(x)=0$이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 20 이하의 모든 n의 값은 (나), (다)이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 a, b라 할 때, $f(b-a)$의 값은? (단, a

1. 문제의 요지

이 문제는 복이차방정식의 근의 공식을 이용하여 해를 구하고, 그 해가 서로 다른 네 개의 정수가 되기 위한 조건을 찾아내는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사차방정식 $4x^4-4(n+2)x^2+(n-2{)}^2=0$
- 서로 다른 네 개의 정수해를 가짐
- $n$은 20 이하의 자연수
- $X=x^2$ 치환 후 근의 공식 적용하여 $X=\frac{n+2\pm \sqrt{(가)}}{2}$ 도출
- $x=\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}+1)$ 또는 $x=\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}-1)$
- (나), (다)는 조건을 만족하는 $n$의 값 ($a<b$)
- $f(n)$은 (가)에 알맞은 식

3. 풀이의 순서

이 문제는 복이차방정식의 근의 공식을 통해 해의 형태를 파악하고, 정수 조건과 서로 다를 조건을 적용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 치환된 이차방정식에 근의 공식을 적용하여 (가)에 알맞은 식 $f(n)$을 구합니다.

step2. 해가 정수가 되기 위한 조건으로부터 $n$의 형태를 파악합니다.

step3. '서로 다른 네 개의 정수해'라는 조건에서 중근이 발생하지 않도록 하는 조건을 찾습니다.

step4. 20 이하의 자연수 조건에 맞는 $n$의 값 $a,b$를 구합니다.

step5. 최종적으로 $f(b-a)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근의 공식: $a{x}^2+bx+c=0$에서 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (짝수 공식: $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$)

- 완전제곱식: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복이차방정식은 $x^2=X$로 치환하여 이차방정식으로 만든 후 근의 공식을 적용하여 해를 구하는 것이 핵심입니다. 이후 해가 정수가 될 조건과 서로 다를 조건을 꼼꼼히 따져야 합니다.

step1. 치환된 이차방정식 $4X^2-4(n+2)X+(n-2{)}^2=0$에 짝수 근의 공식을 적용합니다.

$X=\frac{2(n+2)\pm \sqrt{4(n+2{)}^2-4(n-2{)}^2}}{4}$

분모와 분자를 2로 나누어 정리하면,

$X=\frac{n+2\pm \sqrt{(n+2{)}^2-(n-2{)}^2}}{2}$ 가 됩니다.

근호 안의 식을 전개하여 정리하면,

$(n^2+4n+4)-(n^2-4n+4)=8n$ 입니다.

따라서 (가)에 알맞은 식은 $f(n)=8n$ 입니다.

step2. 문제의 조건에 따라 $x=\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}+1)$ 또는 $x=\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}-1)$ 입니다.

이 해들이 모두 정수가 되려면 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 가 0 이상의 정수가 되어야 합니다.

$\sqrt{\frac{n}{2}}=k$ ($k$는 0 이상의 정수)라고 하면, $n=2k^2$ 이 됩니다.

$n$은 자연수이므로 $k$는 1 이상의 자연수입니다.

이때 해는 $x=\pm (k+1),\pm (k-1)$ 로 표현됩니다.

step3. [함정경고]** 여기서 $\sqrt{\frac{n}{2}}$가 자연수라는 조건만 보고 $k=1$부터 대입하기 쉽습니다. 하지만 '서로 다른 네 개의 정수해'라는 조건을 반드시 확인해야 합니다.

만약 $k=1$이라면, 해는 $x=\pm 2,0,0$ 이 되어 0이 중근이 되므로 서로 다른 네 개의 해가 되지 않습니다.

따라서 $k-1\ne 0$, 즉 $k\ne 1$ 이어야 하므로 $k$는 2 이상의 자연수입니다.

step4. $n$은 20 이하의 자연수이므로 조건을 만족하는 $k$를 찾아 $n$을 구합니다.

$k=2$ 일 때, $n=2\times 2^2=8$

$k=3$ 일 때, $n=2\times 3^2=18$

$k=4$ 일 때, $n=2\times 4^2=32$ (20을 초과하므로 제외)

따라서 조건을 만족하는 $n$의 값은 8과 18입니다.

$a<b$ 이므로 $a=8,b=18$ 입니다.

step5. 마지막으로 $f(b-a)$의 값을 계산합니다.

$f(b-a)=f(18-8)=f(10)$

$f(n)=8n$ 이므로, $f(10)=8\times 10=80$ 입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. (가) 식 구하기

$4X^2-4(n+2)X+(n-2{)}^2=0$

$X=\frac{2(n+2)\pm \sqrt{4(n+2{)}^2-4(n-2{)}^2}}{4}$

$X=\frac{n+2\pm \sqrt{(n+2{)}^2-(n-2{)}^2}}{2}$

$(n+2{)}^2-(n-2{)}^2=8n$

$\therefore f(n)=8n$

step2. 정수해 조건 파악

$x=\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}+1),\pm (\sqrt{\frac{n}{2}}-1)$

$x$가 정수이려면 $\sqrt{\frac{n}{2}}=k$   --- $k$는 0 이상의 정수

$n=2k^2$   --- ($n$은 자연수이므로 $k\ge 1$)

step3. 서로 다른 네 정수해 조건

$x=\pm (k+1),\pm (k-1)$

네 근이 모두 달라야 하므로 $k-1\ne 0\Rightarrow k\ne 1$

$\therefore k\ge 2$인 자연수

step4. $n$의 값 구하기

$n\le 20$이므로

$k=2\Rightarrow n=8$

$k=3\Rightarrow n=18$

$k=4\Rightarrow n=32$   --- (조건 불만족)

$\therefore a=8,b=18$

step5. 정답 도출

$f(b-a)=f(10)=8\times 10=80$

$\therefore 80$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

근의 공식을 적용하여 (가)를 구하는 과정에서 식을 정리하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다. 또한 $\sqrt{\frac{n}{2}}$가 자연수가 되어야 한다는 조건까지는 찾았으나, '서로 다른 네 개의 정수해'라는 조건에서 $k=1$일 때 중근(0)이 발생한다는 사실을 놓치기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$4X^2-4(n+2)X+(n-2{)}^2=0$에 짝수 근의 공식을 차분히 적용하고, 근호 안의 식을 전개하여 간단히 정리해 보세요. 해가 $\pm (k+1),\pm (k-1)$ 형태로 나올 때, 이 네 개의 값이 모두 달라야 하므로 $k-1=0$이 되는 경우를 반드시 제외해야 합니다. (조건을 꼼꼼히 확인하는 습관을 들이세요.)

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기