2023년 6월 학평 (고1) 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼차방정식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

$x$에 대한 삼차방정식 $(x-a)\{x^2+(1-3a)x+4\}=0$이 서로 다른 세 실근 $1,\alpha ,\beta$를 가질 때, $\alpha \beta$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) ① 4 ② 6 ③ 8 ④ 10 ⑤ 12

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 이해하고, 주어진 근을 대입하여 미정계수를 구한 뒤 나머지 근을 찾을 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼차방정식 $(x-a)\{x^2+(1-3a)x+4\}=0$
- 서로 다른 세 실근 $1,\alpha ,\beta$ 존재
- $a$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 근을 방정식의 각 인수에 대입하여 경우를 나누어 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼차방정식의 근이 $x=a$ 또는 이차방정식의 근임을 확인합니다.

step2. $x=1$이 $x=a$인 경우를 가정하고 모순을 찾습니다.

step3. $x=1$이 이차방정식의 근인 경우를 가정하여 $a$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a$의 값을 대입하여 나머지 두 근 $\alpha ,\beta$를 구하고, $\alpha \beta$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(\alpha )=0$이면 $f(x)$는 $x-\alpha$를 인수로 가진다.

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 $D=b^2-4ac$일 때, $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼차방정식이 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해되어 있으므로, 주어진 근 $x=1$이 일차식의 근인지 이차식의 근인지 경우를 나누어 생각해야 합니다.

step1. 주어진 삼차방정식 $(x-a)\{x^2+(1-3a)x+4\}=0$의 근은 $x=a$ 또는 $x^2+(1-3a)x+4=0$의 두 근입니다.

문제에서 서로 다른 세 실근 $1,\alpha ,\beta$를 가진다고 했으므로, $x=1$은 이 세 근 중 하나입니다.

step2. 첫 번째 경우로, $x=1$이 $x-a=0$의 근이라고 가정해 봅시다.

이 경우 $a=1$이 됩니다.

$a=1$을 이차방정식에 대입하면 $x^2-2x+4=0$이 됩니다.

이 이차방정식의 판별식을 확인해 보면, $D=(-2{)}^2-4·1·4=4-16=-12<0$입니다.

판별식이 0보다 작으므로 이 이차방정식은 실근을 갖지 않습니다.

이는 삼차방정식이 세 실근을 가진다는 조건에 모순되므로, $a\ne 1$입니다.

step3. 두 번째 경우로, $x=1$이 이차방정식 $x^2+(1-3a)x+4=0$의 근이라고 가정해 봅시다.

$x=1$을 대입하면 $1^2+(1-3a)·1+4=0$이 성립해야 합니다.

식을 정리하면 $1+1-3a+4=0$, 즉 $6-3a=0$이 되어 $a=2$를 얻습니다.

step4. $a=2$를 원래 삼차방정식에 대입하여 나머지 근을 구해봅시다.

방정식은 $(x-2)(x^2-5x+4)=0$이 됩니다.

이차방정식 $x^2-5x+4=0$을 인수분해하면 $(x-1)(x-4)=0$이 됩니다.

따라서 삼차방정식의 세 근은 $x=2,1,4$입니다.

[함정경고] 여기서 구한 세 근이 모두 '서로 다른 실근'인지 반드시 확인해야 합니다. $1,2,4$는 모두 다르므로 조건을 완벽히 만족합니다.

세 근이 $1,\alpha ,\beta$이므로 $\alpha$와 $\beta$는 각각 $2$와 $4$가 됩니다.

따라서 구하고자 하는 $\alpha \beta$의 값은 $2\times 4=8$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 근의 조건 확인

$(x-a)\{x^2+(1-3a)x+4\}=0$

근은 $x=a$ 또는 $x^2+(1-3a)x+4=0$의 두 근

step2. $x=1$이 $x=a$인 경우

$a=1$일 때, 이차방정식은 $x^2-2x+4=0$

$D/4=1-4=-3<0$   --- (실근이 존재하지 않으므로 모순)

step3. $x=1$이 이차방정식의 근인 경우

$1+(1-3a)+4=0$

$6-3a=0\therefore a=2$

step4. 나머지 근 구하기

$a=2$ 대입하면 $(x-2)(x^2-5x+4)=0$

$(x-2)(x-1)(x-4)=0$

세 근은 $1,2,4$   --- (서로 다른 세 실근 조건 만족)

$\alpha ,\beta$는 $2,4$이므로

$\therefore \alpha \beta =8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 주어진 근 $x=1$을 삼차방정식 전체에 대입하여 $a$를 구하려고 할 때, $(1-a)(1+1-3a+4)=0$에서 $a=1$ 또는 $a=2$가 나오는데, $a=1$일 때 왜 안 되는지 판별식을 통해 확인하지 않고 넘어가면 오답을 낼 수 있습니다. - $\alpha$와 $\beta$가 무엇인지 정확히 매칭하지 못해 혼란을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

- $a$의 값이 여러 개 나올 때는 반드시 각 경우를 원래 식에 대입하여 '서로 다른 세 실근'이라는 조건을 만족하는지 판별식이나 인수분해를 통해 검증해야 합니다. - 세 근이 $1,\alpha ,\beta$로 주어졌을 때, 구한 세 근 중 1을 제외한 나머지 두 근이 $\alpha ,\beta$임을 인지하고 곱을 구하면 됩니다. (근과 계수의 관계를 활용할 수도 있습니다.)

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