2023년 6월 학평 (고1) 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 15번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수의 최대최소)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 직선 $x=t(0<t<3)$이 두 이차함수 $y=2x^2+1,y=-(x-3{)}^2+1$의 그래프와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 두 점 A(0, 1), B(3, 1)에 대하여 사각형 PAQB의 넓이의 최솟값은? [4점] ① $\frac{15}{2}$ ② $9$ ③ $\frac{21}{2}$ ④ $12$ ⑤ $\frac{27}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 그래프 위의 점의 좌표를 문자로 나타내고, 이를 이용하여 도형의 넓이를 문자에 대한 식으로 표현한 후, 이차함수의 최솟값을 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 직선 $x=t$ ($0<t<3$)
- 이차함수 $y=2x^2+1$ 위의 점 P
- 이차함수 $y=-(x-3{)}^2+1$ 위의 점 Q
- 점 A(0, 1), 점 B(3, 1)

3. 풀이의 순서

이 문제는 도형을 두 개의 삼각형으로 분할하여 넓이를 $t$에 대한 이차식으로 표현한 후 최솟값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 P와 Q의 좌표를 $t$로 나타내고, 선분 PQ의 길이를 구합니다.

step2. 사각형 PAQB를 선분 PQ를 기준으로 두 삼각형으로 나누어 넓이를 구하는 식을 세웁니다.

step3. 넓이 식을 $t$에 대한 이차함수 형태로 정리하고, 완전제곱꼴로 변형하여 최솟값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 두 점 사이의 거리 (y축에 평행한 선분): 두 점의 x좌표가 같을 때, 선분의 길이는 두 점의 y좌표의 차이의 절댓값과 같습니다.

- 삼각형의 넓이: 밑변의 길이가 $a$, 높이가 $h$인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}ah$입니다.

- 이차함수의 최솟값: 이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$ ($a>0$)는 $x=p$일 때 최솟값 $q$를 갖습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 다각형의 넓이는 구하기 쉬운 여러 개의 삼각형으로 쪼개어 생각하는 것이 핵심입니다. 이 문제에서는 $y$축에 평행한 선분 PQ를 공통 밑변으로 삼아 두 삼각형으로 나누면 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 점 P와 Q의 좌표를 $t$로 나타내고, 선분 PQ의 길이를 구합니다.

점 P는 직선 $x=t$와 이차함수 $y=2x^2+1$의 교점이므로, P의 좌표는 $(t,2t^2+1)$입니다.

점 Q는 직선 $x=t$와 이차함수 $y=-(x-3{)}^2+1$의 교점이므로, Q의 좌표는 $(t,-(t-3{)}^2+1)$입니다.

선분 PQ는 $y$축에 평행하므로, 선분 PQ의 길이는 점 P의 $y$좌표에서 점 Q의 $y$좌표를 뺀 값입니다.

$PQ=(2t^2+1)-\{-(t-3{)}^2+1\}$

$=2t^2+1+(t^2-6t+9)-1$

$=3t^2-6t+9$

step2. 사각형 PAQB를 선분 PQ를 기준으로 두 삼각형으로 나누어 넓이를 구하는 식을 세웁니다.

사각형 PAQB는 선분 PQ를 대각선으로 하여 $△PQA$와 $△PQB$ 두 개로 나눌 수 있습니다.

$△PQA$에서 밑변을 PQ라 하면, 높이는 점 A(0, 1)에서 직선 $x=t$까지의 거리이므로 $t$입니다. ($0<t<3$이므로 $t>0$)

$△PQB$에서 밑변을 PQ라 하면, 높이는 점 B(3, 1)에서 직선 $x=t$까지의 거리이므로 $3-t$입니다. ($0<t<3$이므로 $3-t>0$)

[함정경고] 사각형의 넓이를 구할 때, 네 꼭짓점의 좌표를 이용한 사선 공식(신발끈 공식)을 사용할 수도 있지만, 식이 복잡해져 계산 실수를 유발하기 쉽습니다. 공통 밑변을 찾아 두 삼각형으로 나누는 것이 훨씬 안전하고 빠릅니다.

step3. 넓이 식을 $t$에 대한 이차함수 형태로 정리하고, 완전제곱꼴로 변형하여 최솟값을 구합니다.

사각형 PAQB의 넓이를 $S(t)$라고 하면,

$S(t)=△PQA+△PQB$

$=\frac{1}{2}\times PQ\times t+\frac{1}{2}\times PQ\times (3-t)$

$=\frac{1}{2}\times PQ\times (t+3-t)$

$=\frac{1}{2}\times PQ\times 3$

$=\frac{3}{2}(3t^2-6t+9)$

$=\frac{9}{2}(t^2-2t+3)$

$=\frac{9}{2}(t^2-2t+1+2)$

$=\frac{9}{2}\{(t-1{)}^2+2\}$

$=\frac{9}{2}(t-1{)}^2+9$

주어진 조건에서 $0<t<3$이므로, $S(t)$는 $t=1$일 때 최솟값 $9$를 갖습니다.

따라서 사각형 PAQB의 넓이의 최솟값은 $9$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 P, Q 좌표 및 PQ 길이

$P(t,2t^2+1)$

$Q(t,-(t-3{)}^2+1)$

$PQ=(2t^2+1)-\{-(t-3{)}^2+1\}$

$=3t^2-6t+9$

step2. 사각형 넓이 식 세우기

$S(t)=△PQA+△PQB$   --- (선분 PQ를 공통 밑변으로 분할)

$=\frac{1}{2}·PQ·t+\frac{1}{2}·PQ·(3-t)$

$=\frac{1}{2}·PQ·3$

step3. 최솟값 계산

$S(t)=\frac{3}{2}(3t^2-6t+9)$

$=\frac{9}{2}(t^2-2t+3)$

$=\frac{9}{2}\{(t-1{)}^2+2\}$

$0<t<3$이므로 $t=1$일 때 최소.

최솟값 = $\frac{9}{2}·2=9$

$\therefore 정답:②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

사각형 PAQB의 넓이를 구하는 식을 세우는 단계에서 막힐 수 있습니다. 네 점의 좌표를 모두 알고 있다고 해서 복잡한 공식을 떠올리거나, 사각형을 어떻게 분할해야 할지 몰라 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

y축에 평행한 선분 PQ를 공통 밑변으로 삼아 사각형을 두 개의 삼각형($△PQA$, $△PQB$)으로 쪼개어 보세요. 두 삼각형의 높이의 합이 점 A와 B의 x좌표 차이(3)로 일정해져서 식이 매우 간단해집니다. 다각형의 넓이는 축에 평행한 선분을 기준으로 분할하는 것이 유리합니다.

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