2023년 6월 학평 (고1) 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수의 최대와 최소)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $a$에 대하여 이차함수 $f(x)=(x-a{)}^2$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $2\le x\le 10$에서 함수 $f(x)$의 최솟값은 0이다. (나) $2\le x\le 6$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 $6\le x\le 10$에서 함수 $f(x)$의 최솟값은 같다. $f(-1)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값은? ① 34 ② 35 ③ 36 ④ 37 ⑤ 38

1. 문제의 요지

이 문제는 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값이 꼭짓점의 위치에 따라 어떻게 달라지는지 분석하여 미지수 $a$의 범위를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=(x-a{)}^2$
- (가) $2\le x\le 10$에서 $f(x)$의 최솟값은 0
- (나) $2\le x\le 6$에서 $f(x)$의 최댓값 = $6\le x\le 10$에서 $f(x)$의 최솟값

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수의 꼭짓점이 어느 구간에 속하는지에 따라 경우를 나누어 분석하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 꼭짓점 $a$의 범위를 구합니다.

step2. 조건 (나)를 해석하기 위해 $a$의 범위를 두 구간으로 나누어 생각합니다.

step3. $2\le a\le 6$인 경우를 분석하여 $a$의 범위를 좁힙니다.

step4. $6<a\le 10$인 경우를 분석하여 모순을 확인합니다.

step5. 구한 $a$의 범위를 바탕으로 $f(-1)$의 최댓값과 최솟값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 최대·최소: 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 위치와 구간의 양 끝점에서의 함숫값을 비교하여 구합니다.

- 이차함수의 대칭성: 이차함수 $y=a(x-p{)}^2+q$의 그래프는 직선 $x=p$에 대하여 대칭이므로, 꼭짓점에서 멀리 떨어질수록 함숫값의 차이가 커집니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수의 최대·최소 문제는 '꼭짓점이 주어진 구간 안에 포함되는가?'를 기준으로 경우를 나누어 푸는 것이 핵심입니다. 또한, 이차함수의 대칭성을 활용하면 복잡한 계산 없이 직관적으로 대소 관계를 파악할 수 있습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 꼭짓점 $a$의 범위를 구합니다.

함수 $f(x)=(x-a{)}^2$의 그래프는 아래로 볼록하며, 꼭짓점의 좌표는 $(a,0)$입니다.

조건 (가)에서 $2\le x\le 10$일 때 최솟값이 0이라고 했습니다.

이차함수의 최솟값이 0이 되려면 꼭짓점이 해당 구간 안에 존재해야 하므로, $2\le a\le 10$임을 알 수 있습니다.

step2. 조건 (나)를 해석하기 위해 $a$의 범위를 두 구간으로 나누어 생각합니다.

조건 (나)는 구간 $[2,6]$에서의 최댓값과 구간 $[6,10]$에서의 최솟값이 같다는 것입니다.

꼭짓점 $a$가 어느 구간에 속하느냐에 따라 함수의 증감이 달라지므로, $2\le a\le 6$인 경우와 $6<a\le 10$인 경우로 나누어 분석합니다.

step3. $2\le a\le 6$인 경우를 분석합니다.

- 구간 $[6,10]$에서의 최솟값:

$a\le 6$이므로 구간 $[6,10]$에서 함수 $f(x)$는 증가합니다. 따라서 $x=6$일 때 최솟값 $f(6)$을 가집니다.

- 구간 $[2,6]$에서의 최댓값:

꼭짓점 $a$가 이 구간에 있으므로, 최댓값은 양 끝점인 $f(2)$ 또는 $f(6)$ 중 더 큰 값이 됩니다.

- 조건 (나) 적용:

구간 $[2,6]$의 최댓값이 구간 $[6,10]$의 최솟값인 $f(6)$과 같아야 합니다.

즉, $f(2)$보다 $f(6)$이 크거나 같아야 하므로 $f(2)\le f(6)$이 성립해야 합니다.

[함정경고] 여기서 $f(2)\le f(6)$이라는 식을 무작정 전개하기보다는 이차함수의 대칭성을 떠올려보세요. 꼭짓점 $x=a$에서 더 멀리 떨어진 곳의 함숫값이 더 큽니다.

$f(2)\le f(6)$이 되려면 꼭짓점 $a$가 $x=2$보다 $x=6$에 더 가깝거나 같은 거리에 있어야 합니다.

즉, 구간 $[2,6]$의 중점인 $4$를 기준으로 $a\le 4$여야 합니다.

수식으로 확인하면 $(2-a{)}^2\le (6-a{)}^2\Rightarrow 4-4a+a^2\le 36-12a+a^2\Rightarrow 8a\le 32\Rightarrow a\le 4$입니다.

따라서 이 경우 조건을 만족하는 $a$의 범위는 $2\le a\le 4$입니다.

step4. $6<a\le 10$인 경우를 분석합니다.

- 구간 $[6,10]$에서의 최솟값:

꼭짓점 $a$가 이 구간에 포함되므로 최솟값은 $f(a)=0$입니다.

- 구간 $[2,6]$에서의 최댓값:

$a>6$이므로 구간 $[2,6]$에서 함수 $f(x)$는 감소합니다. 따라서 $x=2$일 때 최댓값 $f(2)$를 가집니다.

- 조건 (나) 적용:

최댓값과 최솟값이 같아야 하므로 $f(2)=0$이어야 합니다.

하지만 $a>6$이므로 $f(2)=(2-a{)}^2>16$이 되어 0이 될 수 없습니다.

따라서 이 경우는 조건을 만족하는 $a$가 존재하지 않습니다.

step5. $f(-1)$의 최댓값과 최솟값을 구합니다.

위의 분석을 통해 $a$의 범위는 $2\le a\le 4$로 확정되었습니다.

우리가 구해야 하는 값은 $f(-1)=(-1-a{)}^2=(a+1{)}^2$입니다.

$2\le a\le 4$의 각 변에 1을 더하면 $3\le a+1\le 5$가 됩니다.

양변을 제곱하면 $9\le (a+1{)}^2\le 25$가 됩니다.

따라서 $f(-1)$의 최댓값 $M=25$, 최솟값 $m=9$입니다.

최종적으로 $M+m=25+9=34$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 (가) 분석

$f(x)=(x-a{)}^2$의 최솟값이 0이려면 꼭짓점 $x=a$가 구간 내에 존재해야 함.

$\therefore 2\le a\le 10$

step2. & 3. 조건 (나) 분석 - $2\le a\le 6$일 때

$[6,10]$에서 $f(x)$는 증가하므로 최솟값은 $f(6)$

$[2,6]$에서 최댓값은 $max(f(2),f(6))$

조건 (나)에 의해 $max(f(2),f(6))=f(6)$이어야 함.

$\therefore f(2)\le f(6)$

$(2-a{)}^2\le (6-a{)}^2$

$4-4a\le 36-12a$

$8a\le 32\Rightarrow a\le 4$

$\therefore 2\le a\le 4$

step4. 조건 (나) 분석 - $6<a\le 10$일 때

$[6,10]$에서 꼭짓점 포함하므로 최솟값은 $f(a)=0$

$[2,6]$에서 $f(x)$는 감소하므로 최댓값은 $f(2)$

조건 (나)에 의해 $f(2)=0$이어야 하나, $a>6$이므로 $f(2)=(2-a{)}^2>16\ne 0$   --- 모순

step5. 정답 도출

$2\le a\le 4$

$f(-1)=(-1-a{)}^2=(a+1{)}^2$

$3\le a+1\le 5$

$9\le (a+1{)}^2\le 25$

$M=25,m=9$

$\therefore M+m=34$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (나)에서 두 구간의 최댓값과 최솟값을 비교해야 하는데, $a$의 위치에 따라 최댓값과 최솟값이 나오는 $x$의 위치가 달라져서 식을 세우기 막막했을 것입니다. 또한 해설에서 $f(2)\le f(6)$이라는 부등식이 갑자기 튀어나와서 왜 그런지 이해하기 어려웠을 수 있습니다.

🔑 돌파구

이차함수의 최대/최소 문제는 항상 '꼭짓점이 구간 안에 있는가?'를 기준으로 경우를 나누는 것이 핵심입니다. $2\le a\le 6$일 때, 구간 $[2,6]$에서의 최댓값이 $f(6)$이 되려면, 꼭짓점 $a$가 구간의 중점인 $4$보다 왼쪽에 있어야 한다는 이차함수의 대칭성을 떠올리면 부등식을 쉽게 이해할 수 있습니다. 팁: 이차함수의 함숫값 대소 비교는 대입하여 계산하기 전에 항상 '꼭짓점으로부터의 거리'를 먼저 확인하세요.

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