2023년 6월 학평 (고1) 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

23. $x$에 대한 부등식 $x^2+ax+b\le 0$ 의 해가 $-2\le x\le 4$ 일 때, $ab$의 값을 구하시오. (단, $a,b$는 상수이다.) [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 이를 바탕으로 원래의 이차부등식을 역으로 작성하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식 $x^2+ax+b\le 0$ 의 해가 $-2\le x\le 4$ 이다.
- $a,b$는 상수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차부등식의 해를 바탕으로 식을 직접 작성하여 계수를 비교하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 해를 바탕으로 이차부등식을 작성합니다.

step2. 작성한 부등식을 전개하여 주어진 부등식과 계수를 비교해 $a,b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 작성: 해가 $\alpha \le x\le \beta$ 이고 $x^2$의 계수가 1인 이차부등식은 $(x-\alpha )(x-\beta )\le 0$ 으로 작성할 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

안녕하세요! 이차부등식 문제를 풀다가 막히셨군요. 차근차근 함께 풀어보겠습니다.

[키포인트] 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 해의 양 끝값은 그 부등식을 방정식으로 바꾸었을 때의 '두 근'과 같습니다. 이를 이용해 식을 거꾸로 만들어낼 수 있습니다.

step1. 주어진 해를 바탕으로 이차부등식을 작성합니다.

문제에서 부등식의 해가 $-2\le x\le 4$ 라고 주어졌습니다.

이 해를 가지면서 $x^2$의 계수가 1인 이차부등식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.

$(x-(-2))(x-4)\le 0$

즉, $(x+2)(x-4)\le 0$ 이 됩니다.

step2. 작성한 부등식을 전개하여 주어진 부등식과 계수를 비교해 $a,b$의 값을 구합니다.

위에서 세운 식을 전개해 볼까요?

$(x+2)(x-4)=x^2-4x+2x-8=x^2-2x-8\le 0$

이제 이 식을 문제에 주어진 원래 부등식 $x^2+ax+b\le 0$ 과 비교해 봅니다.

두 식이 완전히 같아야 하므로, $x$의 계수와 상수항을 각각 비교하면 다음과 같습니다.

$a=-2$

$b=-8$

[함정경고] 여기서 부호를 헷갈려 $a=2,b=8$ 로 착각하기 쉽습니다. 전개한 식의 부호를 끝까지 꼼꼼하게 확인해야 합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

우리가 구해야 하는 것은 $ab$의 값이므로,

$ab=(-2)\times (-8)=16$ 이 됩니다.

따라서 정답은 16입니다. 잘 이해가 되셨나요? 해가 주어지면 식을 직접 만들어보는 연습을 꾸준히 해보세요!

[정답] 16

⚡ 실전용 풀이

step1. 이차부등식 작성

$(x+2)(x-4)\le 0$   --- (해가 $-2\le x\le 4$ 이고 최고차항 계수가 1이므로)

step2. 계수 비교

$x^2-2x-8\le 0$

$\therefore a=-2,b=-8$

step3. 정답 도출

$ab=(-2)\times (-8)=16$

$\therefore 16$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이차부등식의 해가 주어졌을 때, 이를 어떻게 식으로 다시 만들어내는지(역추적) 방법을 몰라 막힐 수 있습니다. 부등식의 경계값이 방정식의 근이 된다는 사실을 연결하지 못하는 경우가 많습니다.

🔑 돌파구

부등식의 해의 양 끝값인 $-2$와 $4$가 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 두 근임을 떠올려 보세요. 이를 이용해 $(x+2)(x-4)\le 0$이라는 식을 세우면 쉽게 $a,b$를 찾을 수 있습니다. 해가 주어지면 식을 직접 만들어보는 연습을 해보세요!

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