2023년 6월 학평 (고1) 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 나눗셈과 조립제법)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

삼차다항식 $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+11$ 을 $x-3$으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정의 일부를 나타낸 것이다. $P(x)$를 $x-4$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, $a,b,c$는 상수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 조립제법의 원리를 역추적하여 다항식의 계수를 구하고, 나머지정리를 이용하여 원하는 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- P(x) = ax³ + bx² + cx + 11
- 조립제법에서 나누는 식의 근: 3
- 조립제법에서 몫의 계수: 1, 1, -2
- 조립제법에서 나머지: 5

3. 풀이의 순서

이 문제는 조립제법의 원리를 역으로 적용하여 미정계수를 찾고 나머지정리를 이용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조립제법의 첫 번째 열을 통해 a의 값을 구합니다.

step2. 조립제법의 두 번째, 세 번째 열을 통해 b, c의 값을 차례로 구합니다.

step3. 완성된 P(x) 식에 나머지정리를 적용하여 P(4)의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 조립제법: 다항식을 일차식으로 나눌 때, 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 구하는 방법.

- 나머지정리: 다항식 P(x)를 일차식 x-α로 나누었을 때의 나머지는 P(α)와 같다.

5. 구체적 풀이

step1. 조립제법에서 최고차항의 계수는 그대로 내려오므로, $a=1$입니다.

step2. 몫의 첫 번째 계수 1과 나누는 수 3을 곱한 값 3이 $b$ 아래에 위치합니다. 조립제법은 위아래의 수를 더하여 아래에 적으므로 $b+3=1$이 되어 $b=-2$입니다.

마찬가지로 몫의 두 번째 계수 1과 3을 곱한 값 3이 $c$ 아래에 위치합니다. 따라서 $c+3=-2$가 되어 $c=-5$입니다.

(마지막으로 몫의 세 번째 계수 -2와 3을 곱한 값 -6이 11 아래에 위치하고, $11+(-6)=5$가 되어 나머지와 일치함을 확인할 수 있습니다.)

step3. 구한 계수들을 대입하면 $P(x)=x^3-2x^2-5x+11$이 됩니다.

[키포인트] $P(x)$를 $x-4$로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 $P(4)$와 같습니다.

[함정경고] 여기서 $P(x)$를 $x-4$로 직접 나누거나 다시 조립제법을 사용하면 시간이 오래 걸리고 계산 실수를 할 수 있으므로, 반드시 나머지정리를 활용하여 $P(4)$를 대입하여 계산해야 합니다.

$P(4)=4^3-2\times 4^2-5\times 4+11=64-32-20+11=23$입니다.

[정답] 23

⚡ 실전용 풀이

step1. a 계산

$a=1$

step2. b, c 계산

$b+3\times 1=1\therefore b=-2$

$c+3\times 1=-2\therefore c=-5$

step3. 나머지정리

$P(x)=x^3-2x^2-5x+11$

$P(4)=4^3-2(4^2)-5(4)+11$   --- (나머지정리 이용)

$=64-32-20+11=23$

$\therefore 23$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조립제법 표에서 빈칸을 채우는 규칙(곱해서 올리고, 더해서 내리기)을 잊어버렸거나, $P(x)$를 구한 후 $x-4$로 나눈 나머지를 구하기 위해 다시 직접 나눗셈을 시도하다가 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

조립제법은 '위아래를 더해서 아래로 내리고, 내려온 값에 나누는 수를 곱해서 다음 칸에 올리는' 규칙을 반복함을 기억하세요. 또한, 일차식으로 나눈 나머지는 나머지정리를 이용하여 $P(4)$를 대입하는 것이 가장 빠르고 정확합니다.

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