2023년 6월 학평 (고1) 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (복소수와 이차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

25. 이차방정식 $x^2-6x+11=0$의 서로 다른 두 허근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $11(\frac{\bar{\alpha }}{\alpha }+\frac{\bar{\beta }}{\beta })$의 값을 구하시오. (단, $\bar{\alpha },\bar{\beta }$는 각각 $\alpha ,\beta$의 켤레복소수이다.) [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 실계수 이차방정식의 켤레근 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식 $x^2-6x+11=0$의 서로 다른 두 허근 $\alpha ,\beta$
- $\bar{\alpha },\bar{\beta }$는 각각 $\alpha ,\beta$의 켤레복소수

3. 풀이의 순서

이 문제는 실계수 이차방정식의 켤레근 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 실계수 이차방정식의 켤레근 성질을 이용하여 $\bar{\alpha }$와 $\bar{\beta }$를 $\alpha ,\beta$로 나타냅니다.

step2. 구하고자 하는 식을 $\alpha ,\beta$에 대한 식으로 변형합니다.

step3. 근과 계수의 관계를 이용하여 $\alpha +\beta$와 $\alpha \beta$의 값을 구합니다.

step4. 곱셈공식의 변형을 이용하여 식의 값을 계산하고 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 실계수 이차방정식의 켤레근 성질: 이차방정식의 계수가 모두 실수일 때, 한 허근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, $\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

- 곱셈공식의 변형: ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 실계수 이차방정식의 두 허근은 서로 켤레복소수 관계에 있다는 사실을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 실계수 이차방정식의 켤레근 성질을 이용합니다.

이차방정식 $x^2-6x+11=0$의 계수가 모두 실수이므로, 두 허근 $\alpha ,\beta$는 서로 켤레복소수 관계에 있습니다.

즉, $\bar{\alpha }=\beta$, $\bar{\beta }=\alpha$가 성립합니다.

step2. 구하고자 하는 식을 변형합니다.

주어진 식 $11(\frac{\bar{\alpha }}{\alpha }+\frac{\bar{\beta }}{\beta })$에 $\bar{\alpha }=\beta$, $\bar{\beta }=\alpha$를 대입하면,

$11(\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta })$가 됩니다.

이를 통분하면 $11\left(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }\right)$로 정리할 수 있습니다.

step3. 근과 계수의 관계를 이용하여 값을 계산합니다.

이차방정식 $x^2-6x+11=0$에서 근과 계수의 관계에 의해

$\alpha +\beta =6$

$\alpha \beta =11$

입니다.

[함정경고] 여기서 $\alpha ,\beta$를 직접 근의 공식으로 구해서 대입하려고 하면 계산이 매우 복잡해지고 실수할 확률이 높아집니다. 근과 계수의 관계를 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step4. 곱셈공식의 변형을 이용하여 최종 정답을 도출합니다.

${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$ 이므로,

${\alpha }^2+{\beta }^2=6^2-2\times 11=36-22=14$ 입니다.

따라서 구하고자 하는 식의 값은

$11\times \frac{14}{11}=14$ 가 됩니다.

[정답] 14

⚡ 실전용 풀이

step1. 켤레근 성질 적용

$\bar{\alpha }=\beta ,\bar{\beta }=\alpha$   --- (실계수 이차방정식의 두 허근은 켤레복소수이므로)

step2. 식 변형

$11(\frac{\bar{\alpha }}{\alpha }+\frac{\bar{\beta }}{\beta })=11(\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta })$

$=11\left(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }\right)$

step3. 근과 계수의 관계

$\alpha +\beta =6$

$\alpha \beta =11$

step4. 값 계산

${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

$=6^2-2(11)=14$

주어진 식에 대입하면,

$11\times \frac{14}{11}=14$

$\therefore 14$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 $\bar{\alpha }$와 $\bar{\beta }$를 처리하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다. 근의 공식을 사용하여 직접 복소수 근을 구한 뒤 대입하려다 복잡한 계산에 막히거나 계산 실수를 할 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

실계수 이차방정식의 두 허근은 서로 켤레복소수 관계($\bar{\alpha }=\beta ,\bar{\beta }=\alpha$)임을 떠올려야 합니다. 이를 통해 식을 $\alpha$와 $\beta$만의 식으로 바꾸고, 근과 계수의 관계를 적용하면 복잡한 계산 없이 답을 낼 수 있습니다. 켤레근 성질과 근과 계수의 관계는 항상 세트로 생각하는 습관을 들이세요.

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