2023년 6월 학평 (고1) 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 나눗셈, 나머지정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $x^3+2$를 $(x+1)(x-2)$로 나누었을 때의 나머지를 $ax+b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a,b$는 상수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리와 항등식의 성질을 이용하여 다항식의 나눗셈에서 나머지를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $P(x)=x^3+2$
- 나누는 식 $Q(x)=(x+1)(x-2)$
- 나머지 $R(x)=ax+b$ ($a,b$는 상수)

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리와 항등식의 수치대입법을 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 다항식의 나눗셈 관계식을 항등식으로 세웁니다.

step2. 나누는 식이 0이 되는 $x$의 값을 양변에 대입하여 연립방정식을 세웁니다.

step3. 연립방정식을 풀어 $a,b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리 및 항등식의 성질: 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$이 성립하며, 이는 항등식이다. 항등식에서는 양변에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다(수치대입법).

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈 문제는 $A=BQ+R$ 형태의 항등식을 세우고, 나누는 식 $B$가 0이 되는 $x$의 값을 대입하는 것이 핵심입니다.

step1. 다항식의 나눗셈 관계식을 항등식으로 세웁니다.

다항식 $x^3+2$를 $(x+1)(x-2)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$라고 하면, 다음과 같은 항등식을 세울 수 있습니다.

$x^3+2=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b$

step2. 나누는 식이 0이 되는 $x$의 값을 양변에 대입하여 연립방정식을 세웁니다.

위 식은 $x$에 대한 항등식이므로, 양변에 어떤 값을 대입해도 항상 성립합니다. 몫 $Q(x)$를 모르기 때문에, $Q(x)$가 곱해진 부분을 0으로 만드는 $x$의 값인 $x=-1$과 $x=2$를 대입합니다.

$x=-1$을 대입하면:

$(-1{)}^3+2=a(-1)+b$

$1=-a+b$ --- (식 1)

$x=2$를 대입하면:

$2^3+2=a(2)+b$

$10=2a+b$ --- (식 2)

step3. 연립방정식을 풀어 $a,b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b$의 값을 계산합니다.

(식 2)에서 (식 1)을 빼면:

$10-1=(2a+b)-(-a+b)$

$9=3a$

따라서 $a=3$입니다.

$a=3$을 (식 1)에 대입하면:

$1=-3+b$

따라서 $b=4$입니다.

[함정경고] $a$와 $b$의 값을 구한 후, 문제에서 요구하는 최종 답이 무엇인지 다시 한번 확인해야 합니다. 여기서는 $a$나 $b$의 값이 아니라 $a+b$의 값을 묻고 있으므로 끝까지 계산을 마무리해야 합니다.

구하고자 하는 값은 $a+b$이므로,

$a+b=3+4=7$입니다.

[정답] 7

⚡ 실전용 풀이

step1. 항등식 세우기

$x^3+2=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b$

step2. 수치대입

$x=-1$ 대입:

$1=-a+b$   --- ①

$x=2$ 대입:

$10=2a+b$   --- ②

step3. 연립방정식 풀이

② - ①:

$9=3a⟹a=3$

$a=3$을 ①에 대입:

$1=-3+b⟹b=4$

∴ $a+b=3+4=7$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

다항식의 나눗셈을 식으로 표현하는 $A=BQ+R$ 형태의 항등식을 세우지 못해 시작을 못할 수 있습니다. 항등식을 세웠더라도, 몫 $Q(x)$를 모르기 때문에 어떤 값을 대입해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

나눗셈 문제는 항상 '나누어지는 식 = (나누는 식) × 몫 + 나머지' 형태의 항등식으로 적어보는 습관을 들입니다. 몫을 모르더라도 나누는 식이 0이 되는 $x$의 값을 대입하면 몫이 포함된 항 전체가 0이 되어 사라진다는 점을 이용합니다.

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