2023년 6월 학평 (고1) 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (연립이차부등식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 $n$에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $\{\begin{array}{c}|x-n|>2\hfill \\ x^2-14x+40\le 0\hfill \end{array}$ 을 만족시키는 자연수 $x$의 개수가 2가 되도록 하는 모든 $n$의 값의 합을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 절댓값을 포함한 부등식과 이차부등식을 풀고, 수직선 위에서 조건을 만족하는 정수의 개수를 파악하여 미지수 $n$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $n$은 자연수
- $|x-n|>2$
- $x^2-14x+40\le 0$
- 연립부등식을 만족하는 자연수 $x$의 개수가 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차부등식의 해를 구한 뒤, 여집합의 개념을 활용하여 조건을 만족하는 $n$의 범위를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차부등식을 풀어 자연수 $x$의 전체 후보를 구합니다.

step2. 절댓값 부등식의 조건을 반대로 생각하여(여집합), 제외되어야 할 $x$의 개수를 파악합니다.

step3. 제외되는 $x$의 구간을 수직선에 올려 조건을 만족하는 $n$의 값을 찾고 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 풀이: $(x-\alpha )(x-\beta )\le 0$ (단, $\alpha <\beta$)의 해는 $\alpha \le x\le \beta$이다.

- 절댓값 부등식의 풀이: $|X|\le a$ (단, $a>0$)의 해는 $-a\le X\le a$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 부등식을 만족하는 해의 개수를 직접 세기 복잡할 때는, 전체 해의 개수에서 반대되는 조건(여집합)을 만족하는 해의 개수를 빼는 방식으로 접근하면 훨씬 수월합니다.

step1. 이차부등식을 풀어 자연수 $x$의 전체 후보를 구합니다.

주어진 이차부등식 $x^2-14x+40\le 0$을 인수분해합니다.

$(x-4)(x-10)\le 0$

따라서 $x$의 범위는 $4\le x\le 10$입니다.

이 범위에 속하는 자연수 $x$는 $4,5,6,7,8,9,10$으로 총 7개입니다.

step2. 절댓값 부등식의 조건을 반대로 생각하여(여집합), 제외되어야 할 $x$의 개수를 파악합니다.

우리가 찾아야 하는 것은 위 7개의 $x$ 중에서 $|x-n|>2$를 만족하는 $x$가 정확히 2개가 되도록 하는 $n$입니다.

[함정경고] 여기서 $n$에 1부터 일일이 대입하며 $|x-n|>2$인 $x$를 찾으려 하면 시간이 오래 걸리고 실수하기 쉽습니다.

대신, 조건을 만족하지 않는 반대의 경우를 생각해 봅시다.

전체 7개의 $x$ 중 조건을 만족하는 것이 2개라면, 반대로 조건을 만족하지 않는 것은 $7-2=5$개여야 합니다.

즉, 부등식 $|x-n|\le 2$를 만족하는 자연수 $x$가 정확히 5개가 되어야 합니다.

step3. 제외되는 $x$의 구간을 수직선에 올려 조건을 만족하는 $n$의 값을 찾고 그 합을 구합니다.

$|x-n|\le 2$를 풀면 다음과 같습니다.

$-2\le x-n\le 2$

$n-2\le x\le n+2$

이 구간의 길이는 $(n+2)-(n-2)=4$입니다.

길이가 4인 닫힌 구간 $[n-2,n+2]$ 안에는 정수가 최대 5개($n-2,n-1,n,n+1,n+2$) 들어갈 수 있습니다.

우리는 이 5개의 정수가 모두 앞서 구한 $x$의 후보 $\{4,5,6,7,8,9,10\}$ 안에 포함되기를 원합니다.

따라서 구간의 양 끝값이 모두 4 이상 10 이하의 범위에 들어가야 합니다.

$n-2\ge 4$ 이고 $n+2\le 10$

이를 풀면,

$n\ge 6$ 이고 $n\le 8$

즉, $6\le n\le 8$입니다.

이를 만족하는 자연수 $n$은 $6,7,8$입니다.

모든 $n$의 값의 합은 $6+7+8=21$입니다.

[정답] 21

⚡ 실전용 풀이

step1. 이차부등식 풀이

$x^2-14x+40\le 0$

$(x-4)(x-10)\le 0$

$4\le x\le 10$

자연수 $x\in \{4,5,6,7,8,9,10\}$   --- 총 7개

step2. 여집합을 이용한 조건 해석

$|x-n|>2$ 를 만족하는 $x$가 2개

--- (전체 7개 중 2개이므로, 반대 조건을 만족하는 $x$는 5개여야 함)

$|x-n|\le 2$ 를 만족하는 $x$가 5개

step3. $n$의 범위 구하기

$-2\le x-n\le 2$

$n-2\le x\le n+2$

--- (이 구간에 정수가 5개 포함되려면 구간 내 정수가 모두 $4\le x\le 10$에 속해야 함)

$n-2\ge 4$ 이고 $n+2\le 10$

$n\ge 6$ 이고 $n\le 8$

자연수 $n=6,7,8$

∴ $6+7+8=21$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

절댓값 부등식 $|x-n|>2$를 만족하는 $x$를 직접 찾으려다 보면, $n$의 값에 따라 구간이 계속 변하여 경우를 나누기가 매우 까다롭습니다. 이로 인해 $x$의 개수를 세는 과정에서 혼란에 빠지기 쉽습니다.

🔑 돌파구

직접 구하기 어려울 때는 여집합(반대 경우)을 생각해보세요. 전체 자연수 $x$가 7개이므로, 부등식을 만족하는 $x$가 2개라면, 반대로 부등식을 만족하지 않는($|x-n|\le 2$) $x$가 5개여야 한다는 점을 이용하면 훨씬 쉽게 풀립니다. '적어도', '개수가 정해진' 문제에서는 여집합을 떠올리는 것이 핵심 팁입니다.

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