2023년 6월 학평 (고1) 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차부등식)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 $x$축과 한 점 $(0,0)$에서만 만난다. (나) 부등식 $f(x)+g(x)\ge 0$의 해는 $x\ge 2$이다. (다) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)-g(x)\ge f(1)-g(1)$이다. $x$에 대한 방정식 $\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$이 실근을 갖지 않도록 하는 정수 $k$의 개수가 5일 때, $f(22)+g(22)$의 최댓값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 식을 추론하고, 부등식의 해와 함수의 최솟값 조건을 통해 계수의 범위를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- (가) $y=f(x)$의 그래프는 $x$축과 한 점 $(0,0)$에서만 만난다.
- (나) 부등식 $f(x)+g(x)\ge 0$의 해는 $x\ge 2$이다.
- (다) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)-g(x)\ge f(1)-g(1)$이다.
- 방정식 $\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$이 실근을 갖지 않도록 하는 정수 $k$의 개수가 5이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건들을 해석하여 두 이차함수의 식을 미지수로 표현하고, 실근 조건으로 미지수의 범위를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 $f(x)+g(x)$가 일차식임을 파악하고 $g(x)$의 식을 세웁니다.

step3. 조건 (다)를 이용하여 $f(x)-g(x)$의 대칭축을 구하고 미지수 사이의 관계를 찾습니다.

step4. 방정식이 실근을 갖지 않을 조건을 구하여 $k$의 범위를 찾습니다.

step5. 정수 $k$의 개수 조건을 통해 $a$의 범위를 구합니다.

step6. $f(22)+g(22)$의 식을 세우고 최댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 식 세우기: 꼭짓점이나 절편이 주어졌을 때 이차함수의 식을 미지수를 사용하여 표현합니다.

- 이차부등식의 해: 이차 이하의 다항식 $P(x)$에 대해 $P(x)\ge 0$의 해가 $x\ge \alpha$ 꼴이면 $P(x)$는 일차식이어야 합니다.

- 이차함수의 최솟값: 모든 실수 $x$에 대해 $h(x)\ge h(1)$이면 $h(x)$는 $x=1$을 대칭축으로 하고 아래로 볼록한 이차함수입니다.

5. 구체적 풀이

step1. 조건 (가)에서 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 $(0,0)$에서만 만나므로, $f(x)$는 원점을 꼭짓점으로 하는 이차함수입니다. 따라서 $f(x)=a{x}^2$ ($a\ne 0$)으로 둘 수 있습니다.

step2. 조건 (나)에서 부등식 $f(x)+g(x)\ge 0$의 해가 $x\ge 2$입니다.

[키포인트] 두 이차함수의 합 $f(x)+g(x)$는 최대 이차식인데, 부등식의 해가 한쪽으로 열린 범위($x\ge 2$)로 나오려면 이차항이 소거되어 일차식이 되어야 합니다.

따라서 $f(x)+g(x)=c(x-2)$ ($c>0$) 꼴이 되어야 합니다.

$f(x)=a{x}^2$이므로, $g(x)=-a{x}^2+cx-2c$가 됩니다.

step3. 조건 (다)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)-g(x)\ge f(1)-g(1)$입니다.

$h(x)=f(x)-g(x)$라 하면, $h(x)\ge h(1)$이므로 $h(x)$는 $x=1$에서 최솟값을 갖는 아래로 볼록한 이차함수입니다.

$h(x)=a{x}^2-(-a{x}^2+cx-2c)=2a{x}^2-cx+2c$입니다.

아래로 볼록해야 하므로 $2a>0⟹a>0$이고, 대칭축이 $x=1$이어야 하므로 $x=\frac{c}{4a}=1⟹c=4a$입니다.

이를 대입하면 $g(x)=-a{x}^2+4ax-8a=-a(x-2{)}^2-4a$가 됩니다.

step4. 방정식 $\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$은 $f(x)=k$ 또는 $g(x)=k$를 의미합니다.

이 방정식이 실근을 갖지 않으려면 두 경우 모두 실근이 없어야 합니다.

$f(x)=a{x}^2$ ($a>0$)의 최솟값은 0이므로, $f(x)=k$가 실근이 없으려면 $k<0$이어야 합니다.

$g(x)=-a(x-2{)}^2-4a$의 최댓값은 $-4a$이므로, $g(x)=k$가 실근이 없으려면 $k>-4a$이어야 합니다.

따라서 공통 범위는 $-4a<k<0$입니다.

step5. 이 범위에 속하는 정수 $k$의 개수가 5개이려면, $k$는 $-1,-2,-3,-4,-5$가 되어야 합니다.

[함정경고] 여기서 부등호의 등호 포함 여부를 헷갈리기 쉽습니다. $-4a$는 $-5$보다는 작아야 하고, $-6$이 되어도 $-6<k<0$을 만족하는 정수는 5개이므로 $-6$과 같을 수 있습니다.

따라서 $-6\le -4a<-5$가 성립합니다.

양변을 $-4$로 나누면 $\frac{5}{4}<a\le \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$가 됩니다.

step6. 구하고자 하는 값은 $f(22)+g(22)$의 최댓값입니다.

$f(x)+g(x)=4a(x-2)$이므로, $f(22)+g(22)=4a(22-2)=80a$입니다.

$a$의 최댓값이 $\frac{3}{2}$이므로, $80a$의 최댓값은 $80\times \frac{3}{2}=120$입니다.

[정답] 120

⚡ 실전용 풀이

step1. $f(x)$ 식 세우기

$f(x)=a{x}^2$   --- $a\ne 0$

step2. $g(x)$ 식 세우기

$f(x)+g(x)=c(x-2)$ ($c>0$)   --- (부등식 해가 $x\ge 2$이므로 일차식)

$g(x)=-a{x}^2+cx-2c$

step3. 조건 (다) 적용

$h(x)=f(x)-g(x)=2a{x}^2-cx+2c$

$h(x)\ge h(1)$이므로 $x=1$에서 최솟값

대칭축 $x=\frac{c}{4a}=1⟹c=4a$, $a>0$

$g(x)=-a{x}^2+4ax-8a=-a(x-2{)}^2-4a$

step4. 실근 조건

$f(x)=k$ 실근 없으려면 $k<0$

$g(x)=k$ 실근 없으려면 $k>-4a$

$\therefore -4a<k<0$

step5. $a$의 범위

정수 $k$가 5개이므로 $k=-1,-2,-3,-4,-5$

$-6\le -4a<-5⟹\frac{5}{4}<a\le \frac{3}{2}$

step6. 최댓값 계산

$f(22)+g(22)=4a(22-2)=80a$

최댓값은 $80\times \frac{3}{2}=120$

$\therefore 120$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (나)에서 두 이차함수의 합이 일차식이 되어야 한다는 사실을 떠올리지 못하거나, 조건 (다)에서 $f(x)-g(x)$가 $x=1$에서 최솟값을 가진다는 의미를 대칭축으로 연결하지 못해 식을 세우는 데 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

이차식의 합이 $x\ge 2$라는 일차 부등식의 해를 가지려면 이차항이 소거되어야 함을 이용하세요. 또한 모든 실수 $x$에 대해 $h(x)\ge h(1)$이면 $h(x)$는 $x=1$에서 최솟값을 가지는 아래로 볼록한 이차함수임을 파악하여 대칭축 공식을 적용하세요. 부등식의 해의 형태를 보고 다항식의 차수를 결정하는 연습이 필요합니다.

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