2023년 6월 학평 (고1) 수학 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

49 이하의 두 자연수 $m,n$이 ${\{{\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^m-i^n\}}^2=4$ 를 만족시킬 때, $m+n$의 최댓값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$)

1. 문제의 요지

이 문제는 복소수의 거듭제곱의 주기성을 이용하여 주어진 방정식을 만족하는 자연수 조건을 찾고, 그 중 최댓값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $m,n$은 49 이하의 자연수
- ${\{{\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^m-i^n\}}^2=4$
- $i=\sqrt{-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수의 거듭제곱의 주기성을 파악하고, 절댓값이 1인 두 복소수의 차가 $\pm 2$가 되는 조건을 찾는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 식의 제곱을 풀어 $z^m-i^n$의 값을 구합니다.

step2. $z^m$과 $i^n$의 절댓값이 1임을 이용하여 각각의 값을 확정합니다.

step3. $z^m$과 $i^n$의 주기성을 이용하여 $m,n$의 조건을 찾습니다.

step4. 49 이하의 자연수 조건에서 $m+n$의 최댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수의 거듭제곱: $i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$ 등 주기성을 가짐.

- 복소수의 절댓값: $|z|=1$인 두 복소수 $z_1,z_2$에 대해 $z_1-z_2=\pm 2$가 되려면 $z_1=\pm 1,z_2=\mp 1$이어야 함.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복소수가 복잡한 분수 형태로 주어졌을 때는 먼저 제곱을 하여 간단한 형태로 만들어보는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 주어진 식의 제곱을 풀어 $z^m-i^n$의 값을 구합니다.

$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ 라 하면, $z^2=\frac{1+2i-1}{2}=i$ 입니다.

주어진 식은 $(z^m-i^n{)}^2=4$ 이므로, 제곱근을 취하면 $z^m-i^n=2$ 또는 $z^m-i^n=-2$ 가 됩니다.

step2. $z^m$과 $i^n$의 절댓값이 1임을 이용하여 각각의 값을 확정합니다.

여기서 $z$와 $i$는 모두 절댓값이 1인 복소수이므로, 거듭제곱인 $z^m$과 $i^n$ 역시 절댓값이 1입니다.

[함정경고] 여기서 두 복소수의 차이가 2가 되는 경우를 단순히 실수라고 단정짓기 쉬우나, 절댓값이 1인 두 복소수의 차이가 2 또는 -2가 되려면 두 복소수는 반드시 실수축의 양끝점인 1과 -1이어야 함을 정확히 짚고 넘어가야 합니다.

즉, (1) $z^m=1$ 이고 $i^n=-1$ 이거나, (2) $z^m=-1$ 이고 $i^n=1$ 이어야 합니다.

step3. $z^m$과 $i^n$의 주기성을 이용하여 $m,n$의 조건을 찾습니다.

$z^2=i$ 이므로 양변을 제곱하면 $z^4=-1$ 이고, 다시 제곱하면 $z^8=1$ 입니다. 따라서 $z^m$은 주기가 8입니다.

$i^n$은 주기가 4입니다.

step4. 49 이하의 자연수 조건에서 $m+n$의 최댓값을 계산합니다.

경우 (1): $z^m=1,i^n=-1$

- $m$은 8의 배수이어야 하므로, 49 이하의 최대 $m$은 48입니다.

- $n$은 4로 나눈 나머지가 2이어야 하므로, 49 이하의 최대 $n$은 46입니다.

- 이때 $m+n=48+46=94$ 입니다.

경우 (2): $z^m=-1,i^n=1$

- $m$은 8로 나눈 나머지가 4이어야 하므로, 49 이하의 최대 $m$은 44입니다.

- $n$은 4의 배수이어야 하므로, 49 이하의 최대 $n$은 48입니다.

- 이때 $m+n=44+48=92$ 입니다.

따라서 두 경우 중 $m+n$의 최댓값은 94입니다.

[정답] 94

⚡ 실전용 풀이

step1. 식의 단순화

$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ 라 하면 $z^2=i$

$(z^m-i^n{)}^2=4$

$z^m-i^n=\pm 2$

step2. 복소수 값 확정

$|z^m|=1,|i^n|=1$ 이므로

$z^m=1,i^n=-1$ 또는 $z^m=-1,i^n=1$

step3. 주기성 확인 및 최댓값 계산

$z^8=1,z^4=-1$

$i^4=1,i^2=-1$

Case 1) $z^m=1,i^n=-1$

$m=8k⟹$ 최대 $m=48$

$n=4l-2⟹$ 최대 $n=46$

$m+n=94$

Case 2) $z^m=-1,i^n=1$

$m=8k-4⟹$ 최대 $m=44$

$n=4l⟹$ 최대 $n=48$

$m+n=92$

$\therefore 94$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

복소수 식의 제곱이 4가 된다는 조건에서 $z^m-i^n=\pm 2$를 도출한 후, $z^m$과 $i^n$이 각각 어떤 값을 가져야 하는지 파악하지 못해 막힐 수 있습니다. 또한 $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$의 거듭제곱 규칙을 찾지 못해 $m$의 조건을 구하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

절댓값이 1인 두 복소수의 차이가 2가 되려면 두 복소수가 각각 1과 -1이어야 한다는 기하학적/대수적 성질을 떠올려보세요. 복소수가 주어지면 먼저 제곱을 하여 간단한 형태(여기서는 $i$)로 만들어 거듭제곱의 주기를 파악하는 것이 핵심입니다. 복잡한 복소수는 제곱부터 해보는 습관을 들이세요.

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