2023년 6월 학평 (고1) 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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2023년 6월 학평 (고1) 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

22. 다항식 $(4x-y-3z{)}^2$ 의 전개식에서 $yz$의 계수를 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 다항식의 곱셈 공식을 이해하고, 전개식에서 특정 항의 계수를 빠르고 정확하게 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: $(4x-y-3z{)}^2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식의 곱셈 공식을 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 세 항의 합의 제곱 공식을 확인합니다.

step2. 주어진 식에서 각 항을 공식의 $a,b,c$에 대응시킵니다.

step3. $yz$가 포함된 항을 계산하여 계수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항식의 곱셈 공식: $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

5. 구체적 풀이

이 문제는 다항식의 곱셈 공식을 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 세 항의 합의 제곱 공식을 확인합니다.

다항식의 곱셈 공식 중 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 를 이용합니다.

step2. 주어진 식에서 각 항을 공식의 $a,b,c$에 대응시킵니다.

주어진 식 $(4x-y-3z{)}^2$에서 $a=4x$, $b=-y$, $c=-3z$로 생각할 수 있습니다.

[함정경고] 여기서 부호를 빠뜨리고 $b=y,c=3z$로 착각하기 쉽습니다. 반드시 앞의 부호까지 포함하여 항을 설정해야 합니다.

step3. $yz$가 포함된 항을 계산하여 계수를 구합니다.

전개식에서 $yz$ 항은 $2bc$ 부분에서 만들어집니다.

[키포인트] 전체 식을 모두 전개할 필요 없이, 필요한 항만 골라서 계산하면 시간을 절약할 수 있습니다.

$2bc=2\times (-y)\times (-3z)=6yz$

따라서 $yz$의 계수는 6입니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. 곱셈 공식 적용

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

--- $a=4x,b=-y,c=-3z$ 대입

step2. 필요한 항만 계산

$yz$ 항은 $2bc$에서 나옴

$2bc=2(-y)(-3z)=6yz$

$\therefore 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

세 항의 제곱 공식을 정확히 외우지 못했거나, 부호를 포함하여 항을 분리하는 과정에서 실수를 할 수 있습니다. 특히 $-y$와 $-3z$를 곱할 때 부호 처리를 잘못하여 $-6$으로 계산하는 실수가 잦습니다.

🔑 돌파구

$(a+b+c{)}^2$ 공식을 떠올리고, 주어진 식을 $(4x+(-y)+(-3z){)}^2$ 형태로 바꾸어 생각해보세요. 필요한 항인 $yz$는 $2\times (-y)\times (-3z)$에서만 나온다는 점을 파악하면 전체를 전개하지 않고도 빠르고 정확하게 답을 낼 수 있습니다.

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