2023년 6월 학평 (고1) 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

21. 1이 아닌 양수 $k$에 대하여 직선 $y=k$와 이차함수 $y=x^2$의 그래프가 만나는 두 점을 각각 A, B라 하고, 직선 $y=k$와 이차함수 $y=x^2-6x+6$의 그래프가 만나는 두 점을 각각 C, D라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 A의 $x$좌표는 점 B의 $x$좌표보다 작고, 점 C의 $x$좌표는 점 D의 $x$좌표보다 작다.) [4점] <보기> ㄱ. $k=6$일 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=6$이다. ㄴ. $k$의 값에 관계없이 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2-{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$의 값은 일정하다. ㄷ. $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4$일 때, $k+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{17}{16}$이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 $x$좌표를 이차방정식의 근으로 이해하고, 근과 계수의 관계 또는 근의 공식을 이용하여 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k$는 1이 아닌 양수
- 직선 $y=k$와 이차함수 $y=x^2$의 교점: A, B ($x_A<x_B$)
- 직선 $y=k$와 이차함수 $y=x^2-6x+6$의 교점: C, D ($x_C<x_D$)

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선의 교점의 $x$좌표를 구하여 선분의 길이를 표현하고, 주어진 조건에 따라 식의 값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차방정식을 풀어 점 A, B의 $x$좌표를 구하고 선분 AB의 길이를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 이차방정식을 풀어 점 C, D의 $x$좌표를 구하고 선분 CD의 길이를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. $k=6$을 대입하여 보기 ㄱ의 참/거짓을 판별합니다.

step4. ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2-{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$의 값을 계산하여 보기 ㄴ의 참/거짓을 판별합니다.

step5. $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4$를 만족하는 $k$의 값을 구하고, 이를 이용하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$의 길이를 구한 후 보기 ㄷ의 참/거짓을 판별합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근의 공식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)의 해는 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$이다. 일차항의 계수가 짝수인 경우 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$ ($b=2b^{\prime }$)를 사용할 수 있다.

- 두 점 사이의 거리: 수직선 위의 두 점 $P(x_1)$, $Q(x_2)$ 사이의 거리는 $|x_2-x_1|$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수의 그래프와 직선 $y=k$가 만나는 점의 $x$좌표는 이차함수의 식과 $y=k$를 연립한 이차방정식의 실근과 같습니다.

step1. 점 A, B의 $x$좌표 구하기

이차함수 $y=x^2$과 직선 $y=k$의 교점의 $x$좌표는 방정식 $x^2=k$의 해입니다.

$k$는 양수이므로 $x=\pm \sqrt{k}$입니다.

점 A의 $x$좌표가 점 B의 $x$좌표보다 작으므로, $x_A=-\sqrt{k}$, $x_B=\sqrt{k}$입니다.

따라서 선분 AB의 길이는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=x_B-x_A=\sqrt{k}-(-\sqrt{k})=2\sqrt{k}$입니다.

step2. 점 C, D의 $x$좌표 구하기

이차함수 $y=x^2-6x+6$과 직선 $y=k$의 교점의 $x$좌표는 방정식 $x^2-6x+6=k$의 해입니다.

정리하면 $x^2-6x+6-k=0$입니다.

이차방정식의 근의 공식을 이용하면 $x=3\pm \sqrt{(-3{)}^2-1·(6-k)}=3\pm \sqrt{9-6+k}=3\pm \sqrt{k+3}$입니다.

점 C의 $x$좌표가 점 D의 $x$좌표보다 작으므로, $x_C=3-\sqrt{k+3}$, $x_D=3+\sqrt{k+3}$입니다.

따라서 선분 CD의 길이는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=x_D-x_C=(3+\sqrt{k+3})-(3-\sqrt{k+3})=2\sqrt{k+3}$입니다.

step3. 보기 ㄱ 확인

$k=6$일 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=2\sqrt{6+3}=2\sqrt{9}=2\times 3=6$입니다.

따라서 ㄱ은 참입니다.

step4. 보기 ㄴ 확인

${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2-{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2=(2\sqrt{k+3}{)}^2-(2\sqrt{k}{)}^2=4(k+3)-4k=4k+12-4k=12$입니다.

따라서 $k$의 값에 관계없이 12로 일정하므로 ㄴ은 참입니다.

step5. 보기 ㄷ 확인

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4$이면 $2\sqrt{k+3}+2\sqrt{k}=4$입니다.

양변을 2로 나누면 $\sqrt{k+3}+\sqrt{k}=2$입니다.

$\sqrt{k+3}=2-\sqrt{k}$로 식을 변형한 후 양변을 제곱합니다.

$k+3=4-4\sqrt{k}+k$

$4\sqrt{k}=1$

$\sqrt{k}=\frac{1}{4}$

양변을 제곱하면 $k=\frac{1}{16}$입니다.

[함정경고] 무리방정식을 풀 때 양변을 제곱하는 과정에서 무연근이 발생할 수 있으므로, 구한 해가 원래 방정식을 만족하는지 확인해야 합니다.

$k=\frac{1}{16}$을 $\sqrt{k+3}+\sqrt{k}=2$에 대입하면 $\sqrt{\frac{49}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}=2$가 되어 성립합니다.

이제 점 B와 점 C의 $x$좌표를 구합니다.

$x_B=\sqrt{k}=\frac{1}{4}$

$x_C=3-\sqrt{k+3}=3-\sqrt{\frac{1}{16}+3}=3-\sqrt{\frac{49}{16}}=3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$

점 B와 점 C는 모두 직선 $y=k$ 위의 점이므로, 선분 BC의 길이는 두 점의 $x$좌표의 차이입니다.

$x_B<x_C$이므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=x_C-x_B=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1$입니다.

따라서 $k+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{1}{16}+1=\frac{17}{16}$입니다.

그러므로 ㄷ은 참입니다.

결론적으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A, B의 $x$좌표

$x^2=k\Rightarrow x=\pm \sqrt{k}$

$x_A=-\sqrt{k},x_B=\sqrt{k}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2\sqrt{k}$

step2. 점 C, D의 $x$좌표

$x^2-6x+6=k\Rightarrow x^2-6x+6-k=0$

$x=3\pm \sqrt{9-(6-k)}=3\pm \sqrt{k+3}$

$x_C=3-\sqrt{k+3},x_D=3+\sqrt{k+3}$

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=2\sqrt{k+3}$

step3. 보기 ㄱ

$k=6$일 때, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=2\sqrt{6+3}=6$   --- 참

step4. 보기 ㄴ

${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2-{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2=4(k+3)-4k=12$   --- 일정, 참

step5. 보기 ㄷ

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4\Rightarrow 2\sqrt{k+3}+2\sqrt{k}=4$

$\sqrt{k+3}=2-\sqrt{k}$

$k+3=4-4\sqrt{k}+k\Rightarrow 4\sqrt{k}=1\Rightarrow k=\frac{1}{16}$

$x_B=\frac{1}{4},x_C=3-\sqrt{\frac{1}{16}+3}=3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=x_C-x_B=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1$

$k+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{1}{16}+1=\frac{17}{16}$   --- 참

$\therefore 정답⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생이 막힐 가능성이 가장 높은 지점은 두 이차함수와 직선 $y=k$의 교점의 $x$좌표를 $k$에 대한 식으로 나타내는 부분입니다. 특히 $y=x^2-6x+6$과 $y=k$의 교점을 구할 때, 근의 공식을 사용하여 $x$좌표를 $k$로 표현하는 것을 어려워할 수 있습니다. 또한, 보기 ㄷ에서 무리방정식 $\sqrt{k+3}+\sqrt{k}=2$를 푸는 과정에서 식을 적절히 변형하여 제곱하는 방법을 떠올리지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

교점의 $x$좌표는 두 함수의 식을 연립한 방정식의 해와 같다는 개념을 확실히 인지해야 합니다. 이차방정식 $x^2-6x+6-k=0$에서 $k$를 상수로 취급하고 근의 공식을 적용하여 $x$를 구하세요. 무리방정식을 풀 때는 근호가 있는 항 하나를 우변으로 이항한 후 양변을 제곱하면 근호를 없애고 식을 간단히 할 수 있습니다. 교점의 좌표를 문자로 표현하는 것을 두려워하지 마세요.

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